Question

6．如图，已知CO₁是△ABC的中线，过点O₁作O₁E₁∥AC交BC于点E₁，连接AE₁交CO₁于点O₂；过点O₂作O₂E₂∥AC交BC于点E₂，连接AE₂交CO₁于点O₃；过点O₃作O₃E₃∥AC交BC于点E₃，…，如此继续，可以依次得到点O₄，O₅，…，O_n和点E₄，E₅，…，E_n，则O₂₀₁₆E₂₀₁₆=$\frac{1}{2017}$AC．

Answer 1

分析 由O₁E₁∥AC可得出△BO₁E₁∽△BAC和△E₁O₁O₂∽△ACO₂，由相似三角形的性质可得出$\frac{B{O}_{1}}{BA}$=$\frac{{O}_{1}{E}_{1}}{AC}$和$\frac{{E}_{1}{O}_{1}}{AC}$=$\frac{{E}_{1}{O}_{2}}{A{O}_{2}}$，结合三角形中位线定理即可得出O₂E₂=$\frac{1}{3}$AC，同理即可得出O_nE_n=$\frac{1}{n+1}$AC，再代入n=2016即可得出结论．

解答 解：∵O₁E₁∥AC，
∴∠BO₁E₁=∠BAC，∠BE₁O₁=∠BCA，
∴△BO₁E₁∽△BAC，
∴$\frac{B{O}_{1}}{BA}$=$\frac{{O}_{1}{E}_{1}}{AC}$．
∵CO₁是△ABC的中线，
∴$\frac{B{O}_{1}}{BA}$=$\frac{{O}_{1}{E}_{1}}{AC}$=$\frac{1}{2}$．
∵O₁E₁∥AC，
∴∠O₁E₁O₂=∠CAO₂，∠E₁O₁O₂=∠ACO₂，
∴△E₁O₁O₂∽△ACO₂，
∴$\frac{{E}_{1}{O}_{1}}{AC}$=$\frac{{E}_{1}{O}_{2}}{A{O}_{2}}$=$\frac{1}{2}$．
∵O₂E₂∥AC，
∴$\frac{{E}_{1}{O}_{2}}{{E}_{1}A}$=$\frac{{O}_{2}{E}_{2}}{AC}$=$\frac{1}{3}$，
∴O₂E₂=$\frac{1}{3}$AC．
同理：O_nE_n=$\frac{1}{n+1}$AC．
∴O₂₀₁₆E₂₀₁₆=$\frac{1}{2016+1}$=$\frac{1}{2017}$．
故答案为：$\frac{1}{2017}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质以及三角形中位线定理，根据相似三角形的性质找出O_nE_n=$\frac{1}{n+1}$AC是解题的关键．