Question

【题目】如图，在四边形ABCD中，DC∥AB，DA⊥AB，AD=4cm，DC=5cm，AB=8cm．如果点P由B点出发沿BC方向向点C匀速运动，同时点Q由A点出发沿AB方向向点B匀速运动，它们的速度均为1cm/s，当P点到达C点时，两点同时停止运动，连接PQ，设运动时间为t s，解答下列问题：

（1）当t为何值时，P，Q两点同时停止运动；

（2）设△PQB的面积为S，当t为何值时，S取得最大值，并求出最大值；

（3）当△PQB为等腰三角形时，求t的值．

Answer 1

【答案】（1）t=5秒；（2）当t=4时，S的最大值是；（3）t=秒或t=4秒或t=秒．

【解析】

（1）∵当P点到达C点时，两点同时停止运动，∴求出BC长是关键，再除以1即得t值，作CE⊥AB于E，利用勾股定理求出BC的长，再除以速度即可；

（2）由已知条件，把△PQB的边QB用含t的代数式表示出来，作PF⊥QB于F，△PQB的高PF可由相似三角形对应线段成比例，也用含t的代数式表示出来，代入三角形的面积公式可得到一个二次函数，即可求出S的最大值；

（3）通过作辅助线构造直角三角形，由勾股定理用含t的代数式把△PQB三边表示出来，根据线段相等列出含t的方程式求解，即可求得结论．

解：（1）先求BC长，作CE⊥AB于E，

∵DC∥AB，DA⊥AB，∴四边形AECD是矩形，

∴AE=DC=5，CE=AD=4，

∴BE=8-5=3，∴BC==5，

∵P到C时，P、Q同时停止运动，

∴t=5÷1=5（秒），即t=5秒时，P，Q两点同时停止运动；

（2）由题意知，AQ=BP=t，∴QB=8﹣t，

作PF⊥QB于F，CE⊥AB于E，PF∥CE，

则△BPF～△BCE，∴

代入数值：，∴PF=，

∴S=QBPF=×（8﹣t）==﹣（t﹣4）2+（0＜t≤5），

∵﹣＜0，

∴S有最大值，当t=4时，S的最大值是；

（3）作PF⊥QB于F，CE⊥AB于E，

∵cos∠B==，同时cos∠B=，即=，

∴BF=t，∴QF=AB﹣AQ﹣BF=8-t-t=8﹣，

利用勾股定理：QP===，

又∵PB=t,QB=8-t

若△PQB为等腰三角形，则讨论三种情况：①PQ=PB；②PQ=BQ；③QB=BP．

建立含t的方程：①当PQ=PB时，即t=，

化简得：11-128t+320=0，解得t1=8，8>5，不合题意舍去，

∴PQ=PB时t=；

②当PQ=BQ时，即=8﹣t，化简得：，

解得：t1=0（舍去），t2=，∴PQ=BQ时t=；

③当QB=BP，即8﹣t=t，解得：t=4．

综上所述：当t=秒或t=4秒或t=秒时，△PQB为等腰三角形．