Question

【题目】如图1，抛物线y＝x2﹣x﹣3，与x轴交于A和B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，过点A的直线与抛物线在第一象限的交点M的横坐标为，直线AM与y轴交于点D，连接BC、AC．

（1）求直线AD和BC的解折式；

（2）如图2，E为直线BC下方的抛物线上一点，当△BCE的面积最大时，一线段FG＝4（点F在G的左侧）在直线AM上移动，顺次连接B、E、F、G四点构成四边形BEFG，请求出当四边形BEFG的周长最小时点F的坐标；

（3）如图3，将△DAC绕点D逆时针旋转角度α（0°＜α＜180°），记旋转中的三角形为△DA′C′，若直线A′C′分别与直线BC、y轴交于M、N，当△CMN是等腰三角形时，请直接写出CM的长度．

Answer 1

【答案】（1）y＝x+1，y＝x﹣3；（2）F（，）；（3），，或．

【解析】

（1）令y=0，得x1=-1，x2=4，A（-1，0），B（4，0），令x=0，得C（0，-3），令x=，得y=，M（，），待定系数法可求直线AD、BC的解析式；

（2）点F是直线BC下方抛物线上的动点，△FBC面积最大值可以转化为求二次函数最大值问题，设点F横坐标为t，则可以将△FBC面积表示成t的二次函数，再应用配方法将二次函数化成顶点式，就可以求出△FBC面积最大时，F的坐标；四边形BEFG周长的最大值实际上就是求EF+BG的最大值，通过轴对称求线段和的最小值方法求解；

（3）△CMN是等腰三角形，必须分三种不同情况讨论：①CM=CN，②CM=MN，③CN=MN．

解：（1）在抛物线y＝中，令x＝0，得y＝﹣3，

∴C（0，﹣3），

令y＝0，得，解得x1＝﹣1，x2＝4，

∴A（﹣1，0），B（4，0），

令x＝，得y＝＝，

∴M（，），

设直线AD的解析式为y＝k1x+b1，将A（﹣1，0），M（，）代入得，

解得，

∴直线AD的解析式为y＝x+1．

设直线BC的解析式为y＝k2x+b2，将B（4，0），C（0，﹣3）代入，得，

解得，

∴直线BC的解析式为y＝x﹣3；

（2）如图2，过点E作EH∥y轴交BC于H，

设E（t，），H（t，），

∴HE＝＝

∴＝＝＝

∵＜0，

∴当t＝2时，S△BCE的最大值＝6，此时E（2，），

作点B关于直线y＝x+1的对称点B1，连接B1G，过点F作B2F∥B1G，且B2F＝B1G，

∴B1（﹣1，5），

∵FG＝4，且FG在直线y＝x+1上，

∴F可以看作是G向左平移4个单位，向下平移4个单位后的对应点，

∴B2（﹣5，1），

当B2、F、E三点在同一直线上时，BEFG周长最小，设直线B2E解析式为y＝mx+n，将B2（﹣5，1），E（2，）分别代入，得，

解得，

∴直线B2E解析式为y＝，

联立方程组，

解得．

∴F（，）．

（3）如图，分三种情况：

在中，令，则

,

设AC边上的高为h，根据等面积法得，

且OB⊥OC，

①CM＝MN时，如图，过点M作MG⊥OC，过点D作DP⊥MN于点P

∴设，则，

由勾股定理得，，

，即

解得，，（舍去）

②当时，如图，过点M作MG⊥OC，过点D作DP⊥MN于点P

设，则

，解得：（舍去），，

；

③当时，如图，作，，

设，则

，即，解得，（舍去），

；

④当时，过M作，过点D作DP⊥MN于点P

设，则

在中，

解得，（舍去）

.

综上，CM的长为，，或.