Question

【题目】如图,矩形ABCD中，AD>AB，连接AC，将线段AC绕点A顺时针旋转90得到线段AE，平移线段AE得到线段DF(点A与点D对应，点E与点F对应)，连接BF，分别交直线AD，AC于点G，M，连接EF．

(1) 依题意补全图形；

(2) 求证：EG⊥AD；

(3) 连接EC，交BF于点N，若AB=2，BC=4，设MB=a，NF=b，试比较与之间的大小关系，并证明．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）<，理由见解析.

【解析】

（1）根据题目要求作出图形即可；

（2）连EF，EG，延长AB交EF于点H，先依据矩形与平行线的性质，等角的余角相等，旋转的性质，得到≌(AAS),依据全等的性质及等量代换可得，结合依据相似的判定与性质，得到，再依据SAS可证明≌，依据全等的性质得到，即EG⊥AD；

（3）依据勾股定理求出，依据平行线分线段成比例可分别证∽，∽，∽，依据相似三角形的性质得到、、、，即可求出==9+5<.

解：（1）补全图形如下：

（2）连EF，EG，延长AB交EF于点H，设，，

∵,,

∴四边形是平行四边形，

∴，，

∴∽,

∴，

∵矩形ABCD，

∴，，

∴,

∴,

∴，

∴,

∵,

∴，即,

又∵，

∴≌(AAS),

∴,，

∴,

又∵，

∴，

又∵，，

∴≌（SAS），

∴，

∴EG⊥AD；

(3) 当AB=2，BC=4，MB=a，NF=b时，<，理由如下：

,,,,,

∵，

∴∽，

∴=,

∴,,

∵，

∴∽，

∴=,

∴,

∵

∽，

∴,

∴,

==9+5<.