Question

13．如图，经过点A（0，-6）的抛物线y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c与x轴相交于B（-2，0），C两点，点P是AC上的一动点，过点P作PD∥y轴，与抛物线交于点D．
（1）求此抛物线的函数关系式；
（2）是否存在这样的P点，使线段PD的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；
（3）连接AD，求△PAD为直角三角形时点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）把点A、B的坐标代入抛物线解析式，解方程组得到b、c的值，即可得解；
（2）求出点C的坐标，再利用待定系数法求出直线AC的解析式，再根据抛物线解析式设出点P的坐标，然后表示出PD的长度，再根据二次函数的最值问题解答；
（3）①∠APD是直角时，点P与点B重合，②求出抛物线顶点坐标，然后判断出点P为在抛物线顶点时，∠PAD是直角，分别写出点P的坐标即可；

解答 解：（1）根据题意得，$\left\{\begin{array}{l}{c=-6}\\{2-2b+c=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=-6}\end{array}\right.$，
∴抛物线解析式为y=$\frac{1}{2}$x²-2x-6，
（2）∵抛物线解析式为y=$\frac{1}{2}$x²-2x-6，
∴C（6，0）
∵A（0，-6），
∴直线AC解析式为y=x-6，
设P（t，t-6），
∴D（t，$\frac{1}{2}$t²-2t-6），
∴PD=|$\frac{1}{2}$t²-2t-6-（t-6）|=|$\frac{1}{2}$t²-3t|=|$\frac{1}{2}$（t-3）²-$\frac{9}{2}$|=-$\frac{1}{2}$（t-3）²+$\frac{9}{2}$，
当t=3时，PD_最大值=$\frac{9}{2}$；
（3）设P（t，t-6），
∴D（t，$\frac{1}{2}$t²-2t-6），
∵PD∥y轴，
∴CD∥x轴时，∠ADP=90°，
∴-6=$\frac{1}{2}$t²-2t-6，
∴t=0（舍）或t=4；
∴P（4，-2）；
∵抛物线的解析式为y=$\frac{1}{2}$x²-2x-6=$\frac{1}{2}$（x-2）²-8，
∴抛物线的顶点坐标为D（2，-8），
∴P（2，-4），
∵A（0，-6）
∴AD²=4+4=8，PD²=4²=16，PA²=4+4=8，
∴AD²+PA²=PD²，
∴△PAD为直角三角形，
∴P（2，-4）．
即：△PAD为直角三角形时点P的坐标为（2，-4），（4，-2）．

点评 本题是二次函数综合题型，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值问题，二次函数的对称性以及顶点坐标的求解，（2）整理出PD的表达式是解题的关键，（3）关键在于利用点的坐标特征作出判断．