Question

如图，在△ABC中，AD平分∠BAC．求证：
（1）S_△ABD：S_△ACD=AB：AC；
（2）BD：CD=AB：AC．

Answer 1

考点：角平分线的性质

专题：证明题

分析：（1）根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得点D到AB、AC的距离相等，再根据等高的三角形的面积的比等于底边的比解答；
（2）过点C作CE∥AB与AD的延长线相交于点E，根据两直线平行，内错角相等可得∠BAD=∠E，然后求出△ABD和△ECD相似，根据相似三角形对应边成比例可得

BD

CD

=

AB

CE

，根据角平分线的定义可得∠BAD=∠CAD，再求出∠CAD=∠E，根据等角对等边可得AC=CE，从而得证．

解答：证明：（1）∵AD平分∠BAC，
∴点D到AB、AC的距离相等，设为h，
则S_△ABD=

1

2

AB•h，S_△ACD=

1

2

AC•h，
∴S_△ABD：S_△ACD=AB：AC；

（2）如图，过点C作CE∥AB与AD的延长线相交于点E，
所以，∠BAD=∠E，
∵∠ADB=∠EDC，
∴△ABD∽△ECD，
∴

BD

CD

=

AB

CE

，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴∠CAD=∠E，
∴AC=CE，
∴

BD

CD

=

AB

AC

，
即BD：CD=AB：AC．

点评：本题考查了角平分线，相似三角形的判定与性质，主要利用了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，等高的三角形的面积的比等于底边的比的证明，难点在于（2）作辅助线构造出相似三角形和等腰三角形．