如图①.△AOB≌△COD.延长AB.CD相交于点E．(1)求证:DE=BE,(2)将两个三角形绕点O旋转.当∠AEC=90°时.连接BC.AD．取BC的中点F.连接EF.则线段EF.AD的数量关系为EF=$\frac{1}{2}$AD.位置关系为EF⊥AD,(3)将图②中的线段EB.ED同时绕点E顺时针方向旋转到图③所示位置.连接AD.BC.取BC的中点F.� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

20．如图①，△AOB≌△COD，延长AB，CD相交于点E．
（1）求证：DE=BE；
（2）将两个三角形绕点O旋转，当∠AEC=90°时（如图②），连接BC、AD．取BC的中点F，连接EF，则线段EF、AD的数量关系为EF=$\frac{1}{2}$AD，位置关系为EF⊥AD；
（3）将图②中的线段EB，ED同时绕点E顺时针方向旋转到图③所示位置，连接AD、BC，取BC的中点F，连接EF，请你判断（2）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

分析（1）连结AC，如图①，根据全等三角形的性质得∠1=∠2，OC=OA，CD=AB，然后根据等腰三角形的判定与性质进行证明；
（2）如图②，证明△ECB≌△EAD得到AD=BC，∠ECB=∠EAD，再根据直角三角形斜边上的中线性质得EF=FC=FB=$\frac{1}{2}$BC，所以EF=$\frac{1}{2}$AD，然后证明∠EAD+∠FEA=90°，从而得到EF⊥AD；
（3）延长CE到G使EG=CE，AD与BG相交于M，利用EF为△CBG的中位线得到EF∥BG，EF=$\frac{1}{2}$BG，再根据旋转的性质得∠CED=∠AEB，BE=DE，接着证明△AED≌△GEB得到AD=GB，∠DAE=∠G，所以EF=$\frac{1}{2}$AD，然后证明AD⊥BG，从而得到AD⊥EF．

解答（1）证明：连结AC，如图①，
∵△AOB≌△COD，
∴∠1=∠2，OC=OA，CD=AB，
∵OC=OA，
∴∠3=∠4，
∴∠1+∠3=∠2+∠4，即∠ECA=∠EAC，
∴EC=EA，
∴EC-CD=EA-AB，
即DE=BE；
（2）解：如图②，
在△ECB和△EAD中
$\left\{\begin{array}{l}{BE=DE}\\{∠CEB=∠AED}\\{EC=EA}\end{array}\right.$，
∴△ECB≌△EAD，
∴AD=BC，∠ECB=∠EAD，
∵∠AEC=90°，
而点F为BC的中点，
∴EF=FC=FB=$\frac{1}{2}$BC，
∴EF=$\frac{1}{2}$AD，
∵FC=FE，
∴∠FCE=∠FEC，
而∠FEC+∠FEA=90°，
∴∠EAD+∠FEA=90°，
∴EF⊥AD；
故答案为EF=$\frac{1}{2}$AD，EF⊥AD；
（3）解：（2）中的结论成立．理由如下：
延长CE到G使EG=CE，AD与BG相交于M，
∵点F为BC的中点，
∴EF为△CBG的中位线，
∴EF∥BG，EF=$\frac{1}{2}$BG，
∵图②中的线段EB，ED同时绕点E顺时针方向旋转到图③所示位置，
∴∠CED=∠AEB，BE=DE，
∴∠CED+∠CEA=∠AEB+∠AEG，即∠BEG=∠AED，
在△AED和△GEB中
$\left\{\begin{array}{l}{AE=GE}\\{∠AED=∠GEB}\\{DE=BE}\end{array}\right.$，
∴△AED≌△GEB，
∴AD=GB，∠DAE=∠G，
∴EF=$\frac{1}{2}$AD，
∵∠BHA=∠EHG，
∴∠AMH=∠GEH=90°，
∴AD⊥BG，
∴AD⊥EF．