Question

10．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=-x+m与反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象交于点A（1，3a），B（3，a）．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）P为x轴上的动点，当PA+PB的值最小时，求△PAB的面积．

Answer 1

分析 （1）把点A（1，3a），B（3，a）代入y=-x+m得出方程组，求出a和m的值，即可得出两个函数解析式；
（2）作点B关于x轴的对称点B′（3，-1），连接AB′交x轴于P，与待定系数法求出直线AP的解析式，求出点P的坐标，由梯形的面积减去两个直角三角形的面积即可得出△PAB的面积．

解答 解：（1）把点A（1，3a），B（3，a）代入y=-x+m得：$\left\{\begin{array}{l}{-1+m=3a}\\{-3+m=a}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{m=4}\end{array}\right.$，
∴一次函数解析式为y=-x+4，A（1，3），B（3，1），
∴k=1×3=3，∴反比例函数解析式为y=$\frac{3}{x}$．
（2）作点B关于x轴的对称点B′（3，-1），连接AB′交x轴于P，如图所示，
设直线AP的解析式为y=kx+b，
把点A和点B′的坐标代入得；$\left\{\begin{array}{l}{k+b=3}\\{3k+b=-1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=5}\end{array}\right.$，
∴直线AP的解析式为y=-2x+5，
∵当y=0时，x=2.5，
∴P（2.5，0），
作AM⊥x轴于M，如图所示：
则△PAB的面积=$\frac{1}{2}$（3+1）×2-$\frac{1}{2}$×1.5×3-$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×1=1.5．

点评 此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法求函数解析式、轴对称-最短路线问题；熟练掌握待定系数法求直线解析式是解决问题的关键．