Question

18．已知，在△ABC中，点D、E在边AB上，且AD=AC，BE=BC．
①当∠ACB=90°时，如图1，求∠DCE的度数？
②当∠ACB=α时，如图2，则∠DCE=90°-$\frac{1}{2}$α；
③在①的条件下，CE=CD，M为∠DCE内部射线上一点，如图3，当点M关于CE，CD对称点均在直线ED上时，判断此时△EDM的形状，请证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）先用等腰三角形的性质和三角形的内角和得出，∠ACD=$\frac{1}{2}$（180°-∠A），∠BCE=$\frac{1}{2}$（180°-∠B）进而得出90°+$\frac{1}{2}$∠ACB-∠DCE=∠ACB即：∠DCE=90°-$\frac{1}{2}$∠ACB=45°；
（2）同（1）的方法得出结论即可；
（3）先利用对称性得出CP=CQ，∠PCE+∠QCD=45°，由于点M关于CE，CD对称点均在直线ED上，即可得出∠CPQ=∠CQP=45°，进而判断出△CPE≌△CQD即可得出CM是DE的垂直平分线上即可得出结论．

解答 解：（1）∵AD=AC，BC=BE，
∴∠ACD=∠ADC，∠BCE=∠BEC，
∴∠ACD=$\frac{1}{2}$（180°-∠A）
∠BCE=$\frac{1}{2}$（180°-∠B）
∴∠ACD+∠BCE-∠DCE=180°-$\frac{1}{2}$（∠A+∠B）-∠DCE=180°-$\frac{1}{2}$（180°-∠ACB）-∠DCE=90°+$\frac{1}{2}$∠ACB-∠DCE=∠ACB，
∴∠DCE=90°-$\frac{1}{2}$∠ACB=45°．
（2）∵AD=AC，BC=BE，
∴∠ACD=∠ADC，∠BCE=∠BEC，
∴∠ACD=$\frac{1}{2}$（180°-∠A）
∠BCE=$\frac{1}{2}$（180°-∠B）
∴∠ACD+∠BCE-∠DCE=180°-$\frac{1}{2}$（∠A+∠B）-∠DCE=180°-$\frac{1}{2}$（180°-∠ACB）-∠DCE=90°+$\frac{1}{2}$∠ACB-∠DCE=∠ACB，
∴∠DCE=90°-$\frac{1}{2}$∠ACB=90°-$\frac{1}{2}α$．
（3）△EDM等腰三角形，
理由：如图3，作出点M关于CE的对称点P，
∴∠PCE=∠MCE，CP=CM．
作出点M关于CD的对称点Q，
∴∠QCD=∠MCD，CQ=CM，
∴CP=CQ，
由（1）知，∠DCE=45°，
∴∠PCE+∠QCD=∠MCE+∠MCD=45°，
∴∠PCQ=∠PCE+∠DCE+∠QCD=90°，
∵点M关于CE，CD对称点均在直线ED上，
∴∠CPQ=∠CQP=45°，
∴点P，E，D，Q在同一条直线上，
∵CE=CD，
∴∠CED=∠CDE，
∴∠CEP=∠CDQ，
在△CPE和△CQD中，$\left\{\begin{array}{l}{∠CPQ=∠CQP=45°}\\{∠CEP=∠CDQ}\\{CE=CD}\end{array}\right.$，
∴△CPE≌△CQD，
∴∠PCE=∠QCD，
∴∠PCE=∠MCE=∠DCM=∠QCD，
∴∠ECM=∠DCM，
∵CE=CD，
∴CM垂直平分ED，
∴ME=MD，
∴△MDE是等腰三角形．

点评 此题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，对称的性质，线段的垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，解本题的关键是得出∠DCE=90°-$\frac{1}{2}$∠ACB，判定△CPE≌△CQD，是解本题的难点．