Question

已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点O和M分别为Rt△ABC的外心和内心，线段OM的长为

 

．

Answer 1

考点：三角形的内切圆与内心,三角形的外接圆与外心

专题：

分析：作△ABC的内切圆⊙M，过点M作MD⊥BC于D，ME⊥AC于E，MN⊥AB于N．先根据勾股定理求出AB=10，得到△ABC的外接圆半径AO=5，再证明四边形MECD是正方形，根据内心的性质和切线长定理，求出⊙M的半径r=2，则ON=1，然后在Rt△OMN中，运用勾股定理即可求解．

解答：解：如图，作△ABC的内切圆⊙M，过点M作MD⊥BC于D，ME⊥AC于E，MN⊥AB于N．
在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AC=6，BC=8，
∴AB=

AC2+BC2

=10．
∵点O为△ABC的外心，
∴AO为外接圆半径，AO=

1

2

AB=5．
设⊙M的半径为r，则MD=ME=r，
又∵∠MDC=∠MEC=∠C=90°，
∴四边形IECD是正方形，
∴CE=CD=r，AE=AN=6-r，BD=BN=8-r，
∵AB=10，
∴8-r+6-r=10，
解得r=2，
∴MN=r=2，AN=6-r=4．
在Rt△OIN中，∵∠MNO=90°，ON=AO-AN=5-4=1，
∴OM=

MN2+ON2

=

5

．
故答案是：

5

．

点评：此题考查了直角三角形的外心与内心的概念及性质，勾股定理，正方形的判定与性质，切线长定理，综合性较强，难度适中．求出△ABC的内切圆半径是解题的关键．