Question

已知在⊙O中，半径r=13，弦AB∥CD，且AB=24，CD=10，则AB与CD的距离为（　　）

• A、5
• B、7
• C、17
• D、7或17

Answer 1

考点：垂径定理,勾股定理

专题：分类讨论

分析：过O作OE⊥AB交AB于E点，过O作OF⊥CD交CD于F点，连接OA、OC，由题意可得：OA=OC=13，AE=EB=12，CF=FD=5，E、F、O在一条直线上，EF为AB、CD之间的距离，再分别解Rt△OEA、Rt△OFC，即可得OE、OF的长，然后分AB、CD在圆心的同侧和异侧两种情况求得AB与CD的距离．

解答：解：①当AB、CD在圆心两侧时；
过O作OE⊥AB交AB于E点，过O作OF⊥CD交CD于F点，连接OA、OC，如图1所示：
∵半径r=13，弦AB∥CD，且AB=24，CD=10
∴OA=OC=13，AE=EB=12，CF=FD=5，E、F、O在一条直线上
∴EF为AB、CD之间的距离
在Rt△OEA中，由勾股定理可得：
OE²=OA²-AE²
∴OE=

132-122

=5
在Rt△OFC中，由勾股定理可得：
OF²=OC²-CF²
∴OF=

132-52

=12
∴EF=OE+OF=17
AB与CD的距离为17；
②当AB、CD在圆心同侧时，如图2所示：
同①可得：OE=5，OF=12；
则AB与CD的距离为：OF-OE=7；
综上所述，AB与C D间的距离是17或7．
故选：D．

点评：本题考查了垂径定理以及解直角三角形的运用．解题时，需要分类讨论，以防漏解．