Question

5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2cm，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△EDC，此时点B的对应点D恰好落在边AB上，斜边DE交AC边于点F，则图中阴影部分的面积为$\frac{\sqrt{3}}{2}$cm²．

Answer 1

分析 先根据已知条件求出AC的长及∠B的度数，再根据图形旋转的性质及等边三角形的判定定理判断出△BCD的形状，进而得出∠DCF的度数，由直角三角形的性质可判断出DF是△ABC的中位线，由三角形的面积公式即可得出结论．

解答 解：∵△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2，
∴∠B=60°，AC=BC×cot∠A=2×$\sqrt{3}$=2 $\sqrt{3}$，AB=2BC=4，
∵△EDC是△ABC旋转而成，
∴BC=CD=BD=$\frac{1}{2}$AB=2，
∵∠B=60°，
∴△BCD是等边三角形，
∴∠BCD=60°，
∴∠DCF=∠BCA-∠BCD=30°，
∵∠EDC=∠B=60°，
∴∠DFC=90°，
即DE⊥AC，
∴DE∥BC，
∵BD=$\frac{1}{2}$AB=2，
∴DF是△ABC的中位线，
∴DF=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$×2=1，CF=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$×2 $\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$，
∴S_△CDF=$\frac{1}{2}$DF×CF=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$cm²．
故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查的是图形旋转的性质及直角三角形的性质、三角形中位线定理及三角形的面积公式，熟知图形旋转的性质是解答此题的关键，即：
①对应点到旋转中心的距离相等；
②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；
③旋转前、后的图形全等．