Question

3．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b（a≠0）的图象与反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0）的图象交于A、B两点，与x轴交于点C，过点A作AH⊥x轴于点H，点O是线段CH的中点，AC=4$\sqrt{5}$，cos∠ACH=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，点B的坐标为（4，n）．
（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求△BCH的面积．

Answer 1

分析 （1）首先利用锐角三角函数关系得出HC的长，再利用勾股定理得出AH的长，即可得出A点坐标，进而求出反比例函数解析式，再求出B点坐标，即可得出一次函数解析式；
（2）利用B点坐标的纵坐标再利用HC的长即可得出△BCH的面积．

解答 解：（1）∵AH⊥x轴于点H，AC=4$\sqrt{5}$，cos∠ACH=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴$\frac{HC}{AC}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$=$\frac{HC}{4\sqrt{5}}$，
解得：HC=4，
∵点O是线段CH的中点，
∴HO=CO=2，
∴AH=$\sqrt{A{C}^{2}-H{C}^{2}}$=8，
∴A（-2，8），
∴反比例函数解析式为：y=-$\frac{16}{x}$，
∴B（4，-4），
∴设一次函数解析式为：y=kx+b，
则$\left\{\begin{array}{l}{-2k+b=8}\\{4k+b=-4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴一次函数解析式为：y=-2x+4；

（2）由（1）得：△BCH的面积为：$\frac{1}{2}$×4×4=8．

点评 此题主要考查了反比例函数与一次函数解析式求法以及三角形面积求法，正确得出A点坐标是解题关键．