Question

已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边的中线，AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，CE⊥AN于点E，线段DE交AC于点F．
（1）求证：四边形ADCE为矩形；
（2）线段DF与AB有怎样的关系？证明你的结论．

Answer 1

考点：矩形的判定与性质,等腰三角形的性质,平行四边形的判定与性质

专题：

分析：（1）由在△ABC中，AB=AC，AD是BC边的中线，可得AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，又由AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，可得∠DAE=90°，又由CE⊥AN，即可证得：四边形ADCE为矩形；
（2）由四边形ADCE为矩形，可得AF=CF，又由AD是BC边的中线，即可得DF是△ABC的中位线，则可得DF∥AB，DF=

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AB．

解答：（1）证明：∵在△ABC中，AB=AC，AD是BC边的中线，
∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，
∴∠ADC=90°，
∵AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，
∴∠MAN=∠CAN，
∴∠DAE=90°，
∵CE⊥AN，
∴∠AEC=90°，
∴四边形ADCE为矩形；

（2）DF∥AB，DF=

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2

AB．
理由：∵四边形ADCE为矩形，
∴AF=CF，
∵BD=CD，
∴DF是△ABC的中位线，
∴DF∥AB，DF=

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2

AB．

点评：此题考查了矩形的判定与性质、三线合一以及三角形中位线的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．