Question

4．如果两个一次函数y=k₁x+b₁和y=k₂x+b₂满足k₁=k₂，b₁≠b₂，那么称这两个一次函数为“平行一次函数”．
已知函数y=-2x+4的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，一次函数y=kx+b与y=-2x+4是“平行一次函数”
（1）若函数y=kx+b的图象过点（3，1），求b的值；
（2）若函数y=kx+b的图象与两坐标轴围成的面积是△AOB面积的$\frac{1}{4}$，求y=kx+b的解析式．

Answer 1

分析 （1）根据“平行一次函数”的定义即可得出k=-2，再由点（3，1）利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出b值；
（2）分别令y=-2x+4中x=0、y=0求出与之对应的y、x值，即找出点A、B的坐标，利用三角形的面积公式求出S_△AOB，同理找出函数y=kx+b的图象与两坐标轴围成的面积，根据两面积间的关系即可求出b值．

解答 解：（1）∵一次函数y=kx+b与y=-2x+4是“平行一次函数”，
∴k=-2，即y=-2x+b．
∵函数y=kx+b的图象过点（3，1），
∴1=-2×3+b，
∴b=7．
（2）在y=-2x+4中，令x=0，得y=4，令y=0，得x=2，
∴A（2，0），B（0，4），
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$OA•OB=4．
由（1）知k=-2，则直线y=-2x+b与两坐标轴交点的坐标为（$\frac{b}{2}$，0），（0，b），
于是有$\frac{1}{2}$|b|•|$\frac{b}{2}$|=4×$\frac{1}{4}$=1，
∴b=±2，
即y=kx+b的解析式为y=-2x+2或y=-2x-2．

点评 本题考查了两直线相交或平行问题、三角形的面积公式以及一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）根据点的坐标利用一次函数图象上点的坐标特征得出关于b的一元一次方程；（2）根据面积间的关系找出关于b的方程．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据三角形的面积公式结合面积间的关系找出方程是关键．