Question

我们知道，由平行线可得出“同位角相等”，“内错角相等”等结论，因此，在几何证明中，我们往往可以通过添加平行线得到一些相等的角．
（1）如图a，点D在△ABC边BC的延长线上，请你猜想∠ACD与∠A、∠B之间的数量关系，并请你在图中通过添加平行线的方法，证明你的猜想．猜想结论是

 

证明：

（2）如图b，四边形ABCD为一个凹四边形，请你利用（1）中你猜想的结论，求证：∠BDC=∠A+∠B+∠C；
（3）如图c，已知BE平分∠ABD，CF平分∠ACD，BE与CF相交于点P，当∠BDC=130°，∠BAC=60°时，求∠EPC的度数．

Answer 1

考点：平行线的性质

专题：

分析：（1）过点C作CE∥AB，根据两直线平行，内错角相等可得∠A=∠ACE，两直线平行，同位角相等可得∠B=∠ECD，然后根据∠ACD=∠ACE+∠ECD等量代换即可得证；
（2）延长BD交AC于E，根据（1）的结论证明即可；
（3）根据（2）的结论求出∠ABD+∠ACD，再根据角平分线的定义求出∠PBD+∠PCD，然后再次利用结论计算求出∠BPC，再根据邻补角的定义计算即可得解．

解答：（1）解：如图，过点C作CE∥AB，
则∠A=∠ACE，∠B=∠ECD，
∵∠ACD=∠ACE+∠ECD，
∴∠ACD=∠A+∠B；
故答案为：∠ACD=∠A+∠B．

（2）证明：如图，延长BD交AC于E，
在△ABE中，∠CED=∠A+∠B，
在△CDE中，∠BDC=∠CED+∠C，
∴∠BDC=∠A+∠B+∠C；

（3）解：∵∠BDC=130°，∠BAC=60°，
∴∠ABD+∠ACD=130°-60°=70°，
∵BE平分∠ABD，CF平分∠ACD，
∴∠PBD+∠PCD=

1

2

（∠ABD+∠ACD）=

1

2

×70°=35°，
∴∠BPC=∠BDC-（∠PBD+∠PCD）=130°-35°=95°，
∴∠EPC=180°-∠BPC=180°-95°=85°．

点评：本题考查了平行线的性质，主要是三角形外角性质的证明，读懂题目信息，理解提供的求解方法和思路是解题的关键．