Question

17．如图，在△ABC中，D是BC的中点，E是线段上的一个动点，（与A、B不重合）过E作AD的平行线，分别与CA的延长线交于G，和BC边交于点F
（1）如果点E是AB的中点，求证：GF+EF=2AD；
（2）如果E不是AB的中点，上述结论还成立吗？说明理由．

Answer 1

分析 （1）由D是BC的中点，得到BD=CD=$\frac{1}{2}$BC，根据三角形的中位线的性质得到BF=DF=$\frac{1}{2}$BD，EF=$\frac{1}{2}$AD，求得$\frac{CD}{CF}$=$\frac{2}{3}$，根据平行线分线段成比例定理得到$\frac{AD}{GF}=\frac{CD}{CF}$=$\frac{2}{3}$，求出GF=$\frac{3}{2}$AD，即可得到结论；
（2）成立，设$\frac{BE}{AB}$=$\frac{1}{n}$，由D是BC的中点，得到BD=CD=$\frac{1}{2}$BC，根据平行线分线段成比例得到$\frac{BF}{BD}$=$\frac{BE}{AB}$=$\frac{EF}{AD}$=$\frac{1}{n}$，求得BF=$\frac{1}{n}$BD，EF=$\frac{1}{n}$AD，证得DF=BD-BF=（1-$\frac{1}{n}$）BD=（1-$\frac{1}{n}$）CD，推出CF=CD+DF=（2-$\frac{1}{n}$）CD，于是得到$\frac{CD}{CF}$=$\frac{1}{2-\frac{1}{n}}$，由平行线分线段成比例得到$\frac{AD}{GF}=\frac{CD}{CF}$=$\frac{1}{2-\frac{1}{n}}$，求得GF=（2-$\frac{1}{n}$）AD，于是得到结论．

解答 解：（1）∵D是BC的中点，
∴BD=CD=$\frac{1}{2}$BC，
∵E是AB的中点，EF∥AD，
∴BF=DF=$\frac{1}{2}$BD，EF=$\frac{1}{2}$AD，
∴BF=DF=$\frac{1}{4}$BC，
∴$\frac{CD}{CF}$=$\frac{2}{3}$，
∵AD∥GF，
∴$\frac{AD}{GF}=\frac{CD}{CF}$=$\frac{2}{3}$，
∴GF=$\frac{3}{2}$AD，
∴GF+EF=$\frac{3}{2}$AD+$\frac{1}{2}$AD=2AD；

（2）成立，
设$\frac{BE}{AB}$=$\frac{1}{n}$，
∵D是BC的中点，
∴BD=CD=$\frac{1}{2}$BC，
∵EF∥AD，
∴$\frac{BF}{BD}$=$\frac{BE}{AB}$=$\frac{EF}{AD}$=$\frac{1}{n}$，
∴BF=$\frac{1}{n}$BD，EF=$\frac{1}{n}$AD，
∴DF=BD-BF=（1-$\frac{1}{n}$）BD=（1-$\frac{1}{n}$）CD，
∴CF=CD+DF=（2-$\frac{1}{n}$）CD，
∴$\frac{CD}{CF}$=$\frac{1}{2-\frac{1}{n}}$，
∵AD∥GF，
∴$\frac{AD}{GF}=\frac{CD}{CF}$=$\frac{1}{2-\frac{1}{n}}$，
∴GF=（2-$\frac{1}{n}$）AD，
∴GF+EF=$\frac{1}{n}$AD+（2-$\frac{1}{n}$）AD=2AD．

点评 本题考查了平行线分线段成比例，三角形的中位线的性质，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．