Question

如图，已知△ABC，按如下步骤作图：
①分别以A、C为圆心，以大于

1

2

AC的长为半径在AC两边作弧，交于两点M、N；
②作直线MN，分别交AB、AC于点D、O；
③过C作CE∥AB交MN于点E，连接AE、CD．
（1）求证：四边形ADCE是菱形；
（2）当∠ACB=90°，BC=6，AB=10，求四边形ADCE的面积．

Answer 1

考点：菱形的判定与性质

专题：几何图形问题,数形结合

分析：（1）由根据题意得：MN是AC的垂直平分线，即可得AD=CD，AE=CE，然后由CE∥AB，可证得CD∥AE，继而证得四边形ADCE是菱形；
（2）由∠ACB=90°，BC=6，AB=10，可求得AC的长，易得DO是△ABC的中位线，又由四边形ADCE是菱形，即可求得答案．

解答：（1）证明：∵根据题意得：MN是AC的垂直平分线，
∴AD=CD，AE=CE，
∴∠CAD=∠ACD，∠CAE=∠ACE，
∵CE∥AB，
∴∠CAD=∠ACE，
∴∠ACD=∠CAE，
∴CD∥AE，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∴四边形ADCE是菱形；

（2）解：∵四边形ADCE是菱形，
∴OA=OC，OD=OE，AC⊥DE，
∵∠ACB=90°，
∴DE∥BC，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD=

1

2

BC=

1

2

×6=3，
∴DE=6，
∵AC=

AB2-BC2

=

102-62

=8，
∴四边形ADCE的面积为：

1

2

AC•DE=24．

点评：此题考查了菱形的判定与性质、三角形中位线的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．