Question

已知一元二次方程x²+6x-m²=0
（1）求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根．
（2）若x₁和x₂为原方程的两个根，且x₁-2x₂=12．求m的值和此时的根．

Answer 1

考点：根的判别式,根与系数的关系

专题：证明题

分析：（1）先计算判别式的值得到△=6+m²，根据非负数的性质得到△＞0，于是根据判别式的意义可得无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根．
（2）先根据根与系数的关系得到x₁+x₂=-6，x₁•x₂=-m²，由于x₁-2x₂=12，则可先求出x₁和x₂，然后计算m的值．

解答：（1）证明：△=6²-4•（-m²）
=6+m²，
∵m²≥0，
∴6+m²＞0，即△＞0，
∴无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：根据题意得x₁+x₂=-6，
而x₁-2x₂=12，
∴x₁=0，x₂=-6，
∴x₁•x₂=-m²=0，
∴m=0，
即m的值为0，此时的根为x₁=0，x₂=-6．

点评：本题考查了根的判别式：一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与△=b²-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．也考查了根与系数的关系．