Question

直角三角形AOB在平面直角坐标系中如图，O与坐标原点重合，点A在x轴上，点B在y轴上，OB=2

3

，∠BAO=30°，将△AOB沿直线BE折叠，使得OB边落在AB上，点O与点D重合．
（1）求直线BE的解析式；
（2）求点D的坐标；
（3）点M是直线BE上的动点，过M点作AB的平行线交y轴于点N，是否存在这样的点M，使得以点M、N、D、B为顶点的四边形是平行四边形？求出所有M点的坐标．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）在直角△OBE中求得E和B的坐标，然后利用待定系数法求得BE的解析式；
（2）过D作DG⊥OA于G，在直角△DGE中，利用三角函数即可求得DG和GE的长，则D的坐标即可求得；
（3）过D作DM₁⊥y轴交BE于M，过M₁作AB平行线交y轴于N₁，和过D作DN₂∥BE交y轴于N₂，过N₂作N₂M₂∥AB交直线EB于M₂，两种情况进行讨论．

解答：解：（1）∵∠BAO=30°
∴∠ABO=60°，
∵沿BE折叠O．D重合
∴∠EBO=30°，
OE=

1

2

BE，
设OE=x，
则（2x）²=x²+（2

3

）²，
∴x=2，
即 BE=4，
E（-2，0），
设y=kx+b代入得；

0=-2k+b 2 3 =b

解得

b=2 3 k= 3

，
∴直线BE的解析式是：y=

3

x+2

3

，

（2）过D作DG⊥OA于G，如图1（1），
∵沿BE折叠O、D重合，
∴DE=2，
∵∠DAE=30°
∴∠DEA=60°，∠ADE=∠BOE=90°，
∴∠EDG=30°，
∴GE=1，DG=

3

，
∴OG=1+2=3，
∴D的坐标是：D（-3，

3

）；
（3）存在，如图（2）
过D作DM₁⊥y轴交BE于M，过M₁作AB平行线交y轴于N₁，
则M₁的横坐标是x=-3，代入直线BE的解析式得：
y=-

3

，
∴M₁（-3，-

3

），
②过D作DN₂∥BE交y轴于N₂，过N₂作N₂M₂∥AB交直线EB于M₂，
∵D的横坐标是-3，
∴M₂的横坐标是3，
∵M₁的坐标是（-3，-

3

），D（-3，

3

），
∴DM₁=

3

+

3

=2

3

=NB，
∵BO=2

3

，
∴M₂的纵坐标是2

3

+2

3

+

3

=5

3

，
∴M₂（3，5

3

），
∴M点的坐标是：（-3，-

3

）和（3，5

3

）．

点评：本题考查了一次函数的图象和性质，解此题的关键是用两点坐标用待定系数法求出解析式，再利用平行线间的距离处处相等求出点的横坐标．利用直角三角形的性质和勾股定理用方程求出点的纵坐标，注意一题多解．