题目内容
在平面直角坐标中，边长为2的正方形OABC的两顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上，点O在原点．现将正方形OABC绕O点顺时针旋转，当A点第一次落在直线y=x上时停止旋转，旋转过程中，AB边交直线y=x于点M，BC边交x轴于点N（如图）．（1）求停止旋转时，点B的坐标；
（2）旋转过程中，当MN和AC平行时，求正方形OABC旋转的度数；
（3）设△MBN的周长为p，在旋转过程中，p值是否发生变化？若发生变化，说明理由；若不发生变化，请给予证明，并求出p的值．
考点：一次函数综合题
专题：
分析：（1）根据旋转的性质可知B点在x轴上，然后根据勾股定理即可求得OB的长，进而求得B的坐标；
（2）根据正方形和平行线的性质可以得到AM=CN，从而可以证到△OAM≌△OCN．进而可以得到∠AOM=∠CON，就可算出旋转角∠HOA的度数．
（3）过点O作OF⊥MN，垂足为F，延长BA交y轴于E点，如图2，易证△OAE≌△OCN，从而得到OE=ON，AE=CN，进而可以证到△OME≌△OMN，得出ME=MN，从而可以证到MN=AM+CN，进而可以推出p=AB+BC=4，是定值．
（2）根据正方形和平行线的性质可以得到AM=CN，从而可以证到△OAM≌△OCN．进而可以得到∠AOM=∠CON，就可算出旋转角∠HOA的度数．
（3）过点O作OF⊥MN，垂足为F，延长BA交y轴于E点，如图2，易证△OAE≌△OCN，从而得到OE=ON，AE=CN，进而可以证到△OME≌△OMN，得出ME=MN，从而可以证到MN=AM+CN，进而可以推出p=AB+BC=4，是定值．
解答：解：（1）∵A点落在直线y=x上时停止旋转，
∴OA旋转了45°．
∵正方形OABC的边长为2，
∴∠AOB=45°，OB=2
∴OB在x轴上，
∴B（2
，0）；
（2）如图1，∵四边形OABC是正方形，
∴∠BAC=∠BCA=45°，BA=BC，OA=OC，∠OAB=∠OCB=90°．
∵MN∥AC，
∴∠BMN=∠BAC=45°，∠BNM=∠BCA=45°．
∴∠BMN=∠BNM．
∴BM=BN．
∴AM=CN．
在△OAM和△OCN中，
，
∴△OAM≌△OCN（SAS）．
∴∠AOM=∠CON．
∴∠AOM=
×（90°-45°）=22.5°．
∴∠HOA=45°-22.5°=22.5°．
∴旋转过程中，当MN和AC平行时，正方形OABC旋转的度数为22.5°．
（3）在旋转正方形OABC的过程中，p值不变化．
证明：过点O作OF⊥MN，垂足为F，延长BA交y轴于E点，如图2，
则∠AOE=45°-∠AOM，∠CON=90°-45°-∠AOM=45°-∠AOM．
∴∠AOE=∠CON．
在△OAE和△OCN中，
，
∴△OAE≌△OCN（ASA）．
∴OE=ON，AE=CN．
在△OME和△OMN中，
，
∴△OME≌△OMN（SAS）．
∴ME=MN．
∵AE=CN，
∴MN=ME=AM+AE=AM+CN．
∴p=MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+BC=4．
∴在旋转正方形OABC的过程中，p值不变化，等于4．
∴OA旋转了45°．
∵正方形OABC的边长为2，
∴∠AOB=45°，OB=2
| 2 |
∴OB在x轴上，
∴B（2
| 2 |
（2）如图1，∵四边形OABC是正方形，
∴∠BAC=∠BCA=45°，BA=BC，OA=OC，∠OAB=∠OCB=90°．
∵MN∥AC，
∴∠BMN=∠BAC=45°，∠BNM=∠BCA=45°．
∴∠BMN=∠BNM．
∴BM=BN．
∴AM=CN．
在△OAM和△OCN中，
|
∴△OAM≌△OCN（SAS）．
∴∠AOM=∠CON．
∴∠AOM=
| 1 |
| 2 |
∴∠HOA=45°-22.5°=22.5°．
∴旋转过程中，当MN和AC平行时，正方形OABC旋转的度数为22.5°．
（3）在旋转正方形OABC的过程中，p值不变化．
证明：过点O作OF⊥MN，垂足为F，延长BA交y轴于E点，如图2，
则∠AOE=45°-∠AOM，∠CON=90°-45°-∠AOM=45°-∠AOM．
∴∠AOE=∠CON．
在△OAE和△OCN中，
|
∴△OAE≌△OCN（ASA）．
∴OE=ON，AE=CN．
在△OME和△OMN中，
|
∴△OME≌△OMN（SAS）．
∴ME=MN．
∵AE=CN，
∴MN=ME=AM+AE=AM+CN．
∴p=MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+BC=4．
∴在旋转正方形OABC的过程中，p值不变化，等于4．
点评：本题考查了正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的判定，有一定的综合性．而本题在图形旋转的过程中探究不变的量，渗透了变中有不变的辩证思想，是一道好题．
练习册系列答案
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