Question

20．若等腰三角形的一边长为6，另两边长分别是关于x的方程x²-（m+2）x+2m+4=0的两个根，则m=6或7．

Answer 1

分析 先由关于x的方程x²-（m+2）x+2m+4=0有两个实数根，得出△=（m+2）²-4（2m+4）=m²-4m-12≥0，求出m的取值范围．再分类讨论：当6为等腰三角形的底边，则方程有等根，所以△=（m+2）²-4（2m+4）=0，解得m₁=6，m₂=-2（舍去）；当6为等腰三角形的腰，则x=6为方程的解，把x=6代入方程可计算出m的值．

解答 解：∵关于x的方程x²-（m+2）x+2m+4=0有两个实数根，
∴△=（m+2）²-4（2m+4）=m²+4m+4-8m-16=m²-4m-12≥0，
∴m≥6或m≤-2．
当6为等腰三角形的底边，根据题意得△=（m+2）²-4（2m+4）=0，解得m₁=6，m₂=-2，
当m=-2时，根据根与系数的关系得两腰的和=m+2=0，不合题意舍去；
当6为等腰三角形的腰，则x=6为方程的解，把x=6代入方程得36-6（m+2）+2m+4=0，解得m=7．
故答案为6或7．

点评 本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x₁，x₂，则x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁•x₂=$\frac{c}{a}$．也考查了根的判别式，一元二次方程的解的定义，等腰三角形的性质．