Question

18．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=1，AC在直线l上，将△ABC绕点A顺时针转到位置①，可得到点P₁，此时AP₁=2；将位置①的三角形绕点P₁顺时针旋转到位置②，可得到点P₂，此时AP₂=2+$\sqrt{3}$；将位置②的三角形绕点P₂顺时针旋转到位置③，可得到点P₃，此时AP₃=3+$\sqrt{3}$；…，按此顺序继续旋转，得到点P₂₀₁₆，则AP₂₀₁₆=（　　）

• A． 2016+671$\sqrt{3}$
• B． 2016+672$\sqrt{3}$
• C． 2017+672$\sqrt{3}$
• D． 2016+673$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 利用题意得AP₃=3+$\sqrt{3}$，则易得AP₆=2（3+$\sqrt{3}$），AP₉=3（3+$\sqrt{3}$），则三角形旋转三次一个循环，一个循环3+$\sqrt{3}$，然后由2016=3×672即可得到AP₂₀₁₆的长度．

解答 解：∵AP₁=2，AP₂=2+$\sqrt{3}$，AP₃=3+$\sqrt{3}$，
∴AP₆=2（3+$\sqrt{3}$），
AP₉=3（3+$\sqrt{3}$），
而2016=3×672，
∴AP₂₀₁₆=672（3+$\sqrt{3}$）=2016+672$\sqrt{3}$．
故选B．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了规律型问题的解决方法．