Question

【题目】如图1，我们知道，若点将线段分成两部分，且，则称点为线段的黄金分割点．类似的，我们把有一个内角等于的等腰三角形称为黄金三角形，如图，是的直径，点在上，，过点作直线分别交直线和于点、，连接，．

(1)求的度数，并证明是黄金三角形；

(2)求证：点是线段的黄金分割点；

(3)对于实数：，如果满足，则称为，的黄金数，为，的白银数．

①实数，且为，1的黄金数，为，1的白银数，求的值．

②实数，，，分别为，t的黄金数和白银数，求的值．

Answer 1

【答案】（1），是黄金三角形证明见解析；（2）证明见解析；（3）①；②或

【解析】

（1）由题意，根据同圆半径相等和三角形内角和，可求的度数，再由黄金三角形定义可证明是黄金三角形；

（2）由（1）条件证明，再由黄金分割定义问题可证明；

（3）①根据黄金数和白银数的定义，分别求出对应的a、b的值，则问题可解；

②根据k的正负取值，根据定义分别用k表示m、n，再求出比值即可.

（1）是⊙的直径，，

，则，

设，则，

又

．

则

又

是黄金三角形．

（2）由（1）得，

，

又

点是线段的黄金分割点．

（3）①为的黄金数，且实数

（舍），

为的白银数，且实数

（舍）

②分别为的黄金数和白银数，实数

分两种情况：i）当时，

由①得：

由②得：

ii）当时，，由①得：

由②得：

综上， 的值是或