Question

【题目】如图1，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O为原点，AB=8，BC=10，E为AB上一点，把△CBE沿CE折叠，使点B恰好落在边上的点D处，

（1）求AE的长；

（2）如图2，将∠CDE绕着点D逆时针旋转一定的角度，使角的一边DE刚好经过点B，另一边与y轴交于点F，求点F的坐标；

（3）在（2）的条件下，在平面内是否存在一点P，使以点C、D、F、P为顶点的四边形是平行四边形．若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请通过计算说明理由．

Answer 1

【答案】（1）3；（2）F(0，3)；（3）存在，，，

【解析】

（1）设AE=x，利用折叠的性质和矩形的性质，在△ADE中，利用勾股定理求解即可；

（2）根据题意证明△ODF∽△ABD，得到，从而求出OF即可得到结果；

（3）根据平行四边形的性质分CF和DF为邻边时，DF和CP为对角线时，CF和DP为对角线时三种情况，分别求解即可.

解：（1）由折叠的性质可知CD=CB=10，

∵矩形OABC中，CO=AB=8 ∠AOC=90° ，AO=BC=10，

∴OD=6，

∴AD=10-6=4，

设AE=x，则DE=BE=8-x

∴

∴x=3

∴AE=3

（2）∵∠FDB=90°，

∴∠1+∠2=90°

∵∠OAB=90°，

∴∠2+∠3=90°，

∴∠1=∠3，

∵∠FOD=∠DAB=90°

∵△ODF∽△ABD

∴

∴

∴OF=3

∴F（0，3）；

（3）由题意可得：F（0，3），D（6，0），C（0，8），

如图3，若CF和DF为邻边时，

∵CF∥PD，CF=PD，

∴P（6，5）；

如图4，若DF和CP为对角线，

则CF∥PD，CF=PD，

∴P（6，-5）；

如图5，若CF和DP为对角线，

则DF∥CP，DF=CP，

∴P（-6，11）

综上：点P的坐标为：，，.