Question

5．已知：关于x的一元二次方程kx²+（2k+1）x+2=0（k≠0）．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程两个根均为整数，且k为正整数，求k的值．

Answer 1

分析 （1）根据一元二次方程的定义得k≠0，再计算判别式得到△=（2k-1）²，然后根据非负数的性质即k的取值得到△≥0，则可根据判别式的意义得到结论；
（2）根据因式分解法求出方程的根，方程的两个实数根都是整数，且k为正整数，求出k的值．

解答 解：（1）∵△=（2k+1）²-4k×2=（2k-1）²，1
∵（2k-1）²≥0，
∴△≥0．
∵k≠0，
∴原方程总有两个实数根．
（2）kx²+（2k+1）x+2=0，
（x+2）（kx+1）=0，
解方程得x₁=-2，x₂=$-\frac{1}{k}$，
∵方程有两个整数根，
∴k=±1，
∵k为正整数，
∴k=1．

点评 本题主要考查了根的判别式的知识，熟知一元二次方程的根与△的关系是解答此题的关键，此题难度不大．