Question

9．如图，矩形ABCD中，AB=5，AD=3．点E是CD上的动点，以AE为直径的⊙O与AB交于点F，过点F作FG⊥BE于点G．
（1）若E是CD的中点时，证明：FG是⊙O的切线
（2）试探究：BE能否与⊙O相切？若能，求出此时DE的长；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）要证明FG是⊙O的切线只要证明OF⊥FG即可；
（2）先假设BE能与⊙O相切，则AE⊥BE，即∠AEB=90°．设DE的长为x，然后用x表示出CE的长，根据勾股定理可得出一个关于x的一元二次方程，若BE能与⊙O相切，那么方程的解即为DE的长；若方程无解，则说明BE不可能与⊙O相切．

解答 解：（1）连接OF、EF；
∵AE是⊙O的直径，AF⊥EF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB=∠D=90°，AB=CD，
∴四边形ADEF是矩形，
∴AF=DE，
∴EC=BF，
∵E是CD的中点，
∴F是AB的中点，
∴OF∥BE，
∵FG⊥BE，
∴OF⊥FG，
∴FG为⊙O的切线．
（2）若BE能与⊙O相切，因AE是⊙O的直径，则AE⊥BE，∠AEB=90°．
设DE=x，则EC=5-x．
由勾股定理得：AE²+EB²=AB²，
即（9+x²）+[（5-x）²+9]=25，
整理得x²-5x+9=0，
∵b²-4ac=25-36=-11＜0，
∴该方程无实数根，
∴点E不存在，BE不能与⊙O相切．

点评 本题考查的是切线的判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可．本题还要会熟练运用勾股定理作为相等关系列方程求解．