Question

4．已知抛物线y=x²+bx+c的顶点为M，与x轴交于点A、B，与y轴交于点C．
（1）如图，已知点A、B的坐标分别为（-1，0）、（3，0）；
①直接写出抛物线的表达式：y=x²-2x-3；
②连结BC、BM，求∠CBM的正切值；
③点D、E都在线段AB上，且AD=AC，点 F在线段BC上，如果线段EF被直线CD垂直平分，连结DF，求$\frac{DF}{AC}$的值．
（2）当c＜0时，设过点A，B，C三点的圆与y轴的另一个交点为P，求证：点P为
定点，请你求出该定点的坐标．

Answer 1

分析 （1）①把点A、B的坐标代入y=x²+bx+c求出b、c即可；
②根据OB=OC，求出∠OCB=45°，过M作y轴的垂线，垂足为H，求出∠BCM=90°，再根据BC=$3\sqrt{2}$，CM=$\sqrt{2}$即可求出tan∠CBM=$\frac{1}{3}$；
③先求出∠ADC=∠ACD，再根据DF∥AC，即可得出$\frac{DF}{AC}$=$\frac{BD}{AB}$=$\frac{{4-\sqrt{10}}}{4}$；
（2）根据c＜0，得出抛物线与x轴有两个不同的交点，连接AP、BC，再证出△AOP∽△COB，得出$\frac{OP}{OA}=\frac{OB}{OC}$，设A（x₁，0），B（x₂，0），根据c＜0，OC=|c|，OA•OB=|x₁x₂|=|c|，得出OP=1，从而求出点P为定点，坐标为（0，1）．

解答 解：（1）①∵点A、B的坐标分别为（-1，0）、（3，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{1-b+c=0}\\{9+3b+c=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=-3}\end{array}\right.$．
∴抛物线的表达式为：y=x²-2x-3；
故答案为：y=x²-2x-3；

②如图1．
∵OB=OC=3，
∴∠OCB=45°，
抛物线的顶点为M（1，-4），过M作y轴的垂线，垂足为H，
∴CH=MH=1，
∴∠MCH=45°，
∴∠BCM=90°
BC=$3\sqrt{2}$，CM=$\sqrt{2}$
∴tan∠CBM=$\frac{1}{3}$；
③如图2，
∵AD=AC，
∴∠ADC=∠ACD，
∵线段EF被直线CD垂直平分，
∴∠ADC=∠FDC，
∴∠ACD=∠FDC，
∴DF∥AC，
∴$\frac{DF}{AC}$=$\frac{BD}{AB}$=$\frac{{4-\sqrt{10}}}{4}$；

（2）如图3，
∵c＜0，
∴抛物线与x轴有两个不同的交点，连接AP、BC．
由圆周角定理得：∠APO=∠CBO，∠PAO=∠BCO，
∴△AOP∽△COB，
∴$\frac{OP}{OA}=\frac{OB}{OC}$，
设A（x₁，0），B（x₂，0），
∵已知抛物线y=x²+bx+c，
∴x₁x₂=c，
∵c＜0，OC=|c|，OA•OB=|x₁x₂|=|c|，
∴OP=1，
∴点P为定点，坐标为（0，1）．

点评 此题考查了二次函数的综合题，用到的知识点是二次函数的图象与性质、相似三角形的判定与性质、圆周角定理、线段的垂直平分线，关键是根据题意画出图形，作出辅助线，综合利用有关性质求出答案．