Question

如图，在矩形ABCD中，BC=6cm，AB=8cm，E是BC上的一点，且BE=5cm，过点E作EF⊥BD，垂足为F，点P从D出发沿DB方向向点B运动，速度为1cm/秒，运动时间为t秒．在矩形边上找一点Q，使得以E，F，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，则t值为

 

秒．

Answer 1

考点：平行四边形的判定,矩形的性质

专题：动点型

分析：根据条件可证明△BEF∽△BDC，可求得EF，当以E，F，P，Q为顶点的四边形为平行四边形时结合条件可知PQ∥EF，且PQ=EF，再分Q在AD、AB、CD三边上分别求得PD的长，可求得t的值．

解答：解：∵BC=6cm，AB=8cm，
∴BD=10，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠C=∠EFB，且∠EBF=∠CBD，
∴△BEF∽△BDC，
∴

BE

BD

=

EF

CD

，即

5

10

=

EF

8

，
∴EF=4cm，
当以E，F，P，Q为顶点的四边形为平行四边形时，则有PQ=EF=4cm，且PQ∥EF，
∵EF⊥BD，
∴PQ⊥BD，
∴∠QPD=90°，
设运动时间为t秒，则PD=tcm，
①当Q在AD上时，如图1，

∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A=∠QPD=90°，且∠QDP=∠BDA，
∴△QPD∽△BAD，
∴

PD

AD

=

PQ

AB

，即

PD

6

=

4

8

，
∴PD=4，所以t=4s，
②当Q在AB上时，如图2，

同理可得

PB

AB

=

PQ

AD

，即

PB

8

=

4

6

，解得PB=

16

3

，
∴PD=BD-PB=10-

16

3

=

14

3

，
∴t=

14

3

s，
③当Q在CD上时，如图3，

同理可得

PD

CD

=

PQ

BC

，即

PD

8

=

4

6

，解得PD=

16

3

，
∴t=

16

3

s，
综上可知t的值为4秒或

14

3

秒或

16

3

秒，
故答案为：4或

14

3

或

16

3

．

点评：本题主要考查矩形及平行四边形的性质及相似三角形的判定和性质，由条件确定出Q点所在的位置是解题的关键，注意分类讨论思想的应用．