Question

如图，四边形ABCD是平行四边形，AB=2，以边AB为直径的⊙O经过点D，且∠DAB=45°．
（1）试判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若以C为圆心的⊙C与⊙O相切，求⊙C的半径．

Answer 1

考点：切线的判定与性质,勾股定理,平行四边形的性质

专题：

分析：（1）连接OD，即可得∠BOD=90°，又由四边形ABCD是平行四边形，可得AB∥DC，即可求得OD⊥CD，则可得CD与⊙O的位置关系是相切；
（2）作CE⊥OB，交OB的延长线于点E，连接OC，由四边形ABCD是平行四边形，可得AD∥BC，可得∠CBE=∠DAB=45°，然后在Rt△OCE中，由勾股定理即可求得OC的值，从而求得⊙C的半径．

解答：解：（1）直线CD与⊙O相切． 
连接OD．
∵∠DAB=45°，OA=OD，
∴∠ADO=∠DAO=45°，
∴∠DOB=90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴OD⊥CD，
∵OD为⊙O半径，
∴直线CD与⊙O相切．
（2）作CE⊥OB，交OB的延长线于点E，连接OC．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠CBE=∠DAB=45°，四边形DOEC是矩形，
∵AB=2，
∴BE=CE=OD=1．
在Rt△OCE中，OC=

CE2+OE2

=

5

，
∵⊙C与⊙O 相切，
∴⊙C的半径为

5

-1或

5

+1．

点评：此题考查了切线的判定与性质、平行四边形的性质以及勾股定理等知识．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．