Question

13．如图，A、B为⊙O上的两个定点，P是⊙O上的动点（P不与A、B重合），我们称∠APB为⊙O上关于点A、B的滑动角．已知∠APB是⊙O上关于点A、B的滑动角，
（1）若AB为⊙O的直径，则∠APB=90°；
（2）若⊙O半径为1，AB=$\sqrt{2}$，求∠APB的度数；
（3）若⊙O半径为1，AB=$\sqrt{2}$，AC=$\sqrt{3}$，求∠BAC的度数．

Answer 1

分析 （1）由AB为⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可求得答案；
（2）由⊙O半径为1，AB=$\sqrt{2}$，可求得∠AOB的度数，又由圆周角定理即可求得∠APB的度数；
（3）根据题意画出图形，作出辅助线，由于AC与AB在圆心的同侧还是异侧不能确定，故应分两种情况进行讨论．

解答 解：（1）∵AB为⊙O的直径，
∴∠APB=90°．
故答案为：90°；

（2）连接OA，OB，AB，
∵⊙O半径为1，AB=$\sqrt{2}$，
∴OA=OB=1，AB=$\sqrt{2}$，
∴OA²+OB²=AB²，
∴∠AOB=90°，
∴当点P在优弧AB上时，∠APB=$\frac{1}{2}$∠AOB=45°，
当点P在劣弧AB上时，∠APB=180°-45°=135°，
∴∠APB的度数为：45°或135°；

（3）解：分别作OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别是D、E．
∵OE⊥AC，OD⊥AB，
∴AE=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，AD=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴sin∠AOE=$\frac{AE}{AO}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，sin∠AOD=$\frac{AD}{AO}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴∠AOE=60°，∠AOD=45°，
∴∠BAO=45°，∠CAO=90°-60°=30°，
∴∠BAC=45°+30°=75°，或∠BAC′=45°-30°=15°．
∴∠BAC=15°或75°．

点评 本题考查了圆周角定理、垂径定理及直角三角形的性质．注意掌握辅助线的作法是解此题的关键．