Question

4．如图，在△ABC中，AB=AC，正方形DEFG的顶点D、G分别在AB、AC上，EF在BC上，设AB=5，BC=6，求正方形DEFG的边长．

Answer 1

分析 根据正方形的性质得到DG∥BC，推出△ADG∽△ABC，利用相似三角形对应边上高的比等于相似比，列方程求解即可．

解答 解：过A作AH⊥BC于H，交DG于点P，设正方形的边长为x．
由正方形DEFG得，DG∥EF，即DG∥BC，
∵AH⊥BC，
∴AP⊥DG，
∵DG∥BC，
∴△ADG∽△ABC，
∴$\frac{DG}{BC}=\frac{AP}{AH}$，
∵PH⊥BC，DE⊥BC
∴PH=ED，AP=AH-PH，
即$\frac{DG}{BC}=\frac{AH=PH}{AH}$
∵AB=AC，∴BH=$\frac{1}{2}$BC=3，∵AB=5，
∴AH=4，DE=DG=x，
得$\frac{x}{6}=\frac{4-x}{4}$，
解得x=$\frac{12}{5}$，
∴正方形DEFG的边长是$\frac{12}{5}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质．关键是由平行线得到相似三角形，利用相似三角形的性质列方程．