Question

解下列关于x的不等式． （1）|x|＜|x+1|	（2）1＜|5x-1|≤4	（3）|x+1|+|x+2|＜4
（4）|2x-1|＜|3x+2|	（5）2|1-2|1-2x||+2x＜1	（6）（x+1）|x-1|＞0
（7）| x x+1 |＞ x x+1	（8）|2x-3|＞x	（9）|x-3|≥2x-1
（10）|x-3|＜2x-1	（11）|x-2|＞a	（12）|x+4|≤2a-1．

Answer 1

分析：（1）两边平方，即可转化成一元一次方程，去掉绝对值符号，从而求解；
（2）去掉绝对值符号，可以得到1＜5x-1≤4或-4≤5x-1＜-1，解不等式即可求得x的范围；
（3）分x＜-2，-2≤x＜-1和x≥-1三种情况去掉绝对值符号，解不等式即可求解；
（4）两边平方即可得到关于x的不等式，即可求解；
（5）分1-2x大于0和小于0两种情况讨论，然后再讨论去掉绝对值符号从而求解；
（6）根据绝对值是非负数，即可得得到关于x的不等式组，从而求解；
（7）

x

x+1

一定是一个负数，据此即可求解；
（8）分2x-3≥0和2x-3＜0两种情况进行讨论，去掉绝对值符号即可求解；
（8）分2x-3≥0和2x-3＜0两种情况进行讨论，去掉绝对值符号即可求解；
（9）分x-3≥0和x-3＜0两种情况进行讨论，去掉绝对值符号即可求解；
（10）分x-3≥0和x-3＜0两种情况进行讨论，去掉绝对值符号即可求解；
（11）首先讨论a的符号，当a＜0时，x是任意数，当a＞0时，即可转化成不等式x-2＞a或x-2＜-a求解；
（12）分2a-1＜0和2a-1≥0两种情况进行讨论，当2a-1＜0时无解，当2a-1≥0时，不等式可以化成1-2a≤x+4≤2a-1，即可求解．

解答：解：（1）根据题意得：x²＜（x+1）²，即2x+1＞0，解得：x＞-

1

2

；

（2）根据题意得：1＜5x-1≤4或-4≤5x-1＜-1，
解得：

2

5

＜x≤1或-

3

5

≤x＜0；

（3）当x＜-2时，原式可化为：-x-1-x-2＜4，解得：x＞-

7

2

，则-

7

2

＜x＜-2；
当-2≤x＜-1时，原式可化为：-x-1+x+2＜4，成立，则-2≤x＜-1；
当x≥-1时，原式可化为：x+1+x+2＜4，解得：x＜

1

2

，则-1≤x＜

1

2

．
总之，x的范围是：-

7

2

＜x＜

1

2

；

（4）两边平方得：4x²-4x+1＜9x²+12x+4，
即5x²+16x+3＞0，（5x+1）（x+3）＞0，
则x＞-

1

5

或x＜-3；

（5）①当1-2x≥0，即x≤

1

2

时，原式可化为：2|4x-1|+2x＜1，
当4x-1≥0，即

1

4

≤x≤

1

2

时，原式可化为：8x-2+2x＜1，解得：x＜

3

10

，
则

1

4

≤x＜

3

10

；
当4x-1＜0，即x＜

1

4

时，原式可化为：2-8x+2x＜1，解得：x＞

1

6

，则

1

6

＜x＜

1

4

；
②当1-2x＜0，即x＞

1

2

时，原式可以化成：2|3-4x|+2x＜1，
当3-4x≥0，即

1

2

＜x≤

3

4

时，原式可化成：6-8x+2x＜1，解得：x＞

5

6

，此时无解；
当3-4x＜0，即x＞

3

4

时，原式可以化成：8x-6+2x＜1，解得：x＜

7

10

，则

1

2

＜x＜

7

10

．
总之，x的范围是：

1

6

＜x＜

3

10

或

1

2

＜x＜

7

10

．

（6）根据题意得：

x-1≠0 x+1＞0

，
解得：x＞-1且x≠1；

（7）根据题意得：

x

x+1

＞0，
即：

x＞0 x+1＞0

或

x＜0 x+1＜0

，
解得：x＞0或x＜-1；

（8）当2x-3≥0，即x≥

3

2

时，原式可以化成：2x-3＞x，解得：x＞3；
当2x-3＜0，即x＜

3

2

时，原式可以化成3-2x＞x，解得：x＜1．
则x的范围是：x＜1或x＞3；

（9）当x-3≥0，即x≥3时，原式可以化成x-3≥2x-1，解得：x≤-2，则无解；
当x-3＜0时，即x＜3时，原式可以化成3-x≥2x-1，解得：x≤

4

3

．
则x的范围是：x≤

4

3

；

（10）当x-3≥0，即x≥3时，原式可以化成x-3＜2x-1，解得：x＞-2，则x≥3，
当x-3＜0时，即x＜3时，原式可以化成3-x＜2x-1，解得：x＞

4

3

，则

4

3

＜x＜3．
则x的范围是：x≥

4

3

；

（11）当a＜0时，x是任意数；
当a≥0时，x-2＞a或x-2＜-a，
解得：x＞a+2或x＜2-a；

（12）当2a-1＜0时，即a＜

1

2

时，不等式无解；
当2a-1≥0，即a≥

1

2

时，不等式可以化成：1-2a≤x+4≤2a-1，
解得：-2a-3≤2a+5．

点评：本题考查了含有绝对值的不等式的解法，正确去掉绝对值符号，正确进行讨论是关键．