Question

2．如图，一次函数y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+b的图象与x轴交于点为A（-4$\sqrt{3}$，0），与y轴交于点为B．
（1）求点B坐标及∠BAO度数；
（2）如果点C坐标为（0，2），四边形ABCD是直角梯形，求点D的坐标．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法求得直线AB的解析式，然后求得B的坐标，利用三角形函数求得∠ABO的度数；
（2）四边形ABCD是直角梯形，分类讨论①CD⊥AD，AB是底边时，②AD∥BC，CD⊥AD时．

解答 解：（1）把（-4$\sqrt{3}$，0）代入y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+b得4+b=0，
解得：b=-4，
则函数的解析式是y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-4，
当x=0时，y=-4，则OB=4，B的坐标是（0，-4），
tan∠BAO=$\frac{OB}{OA}$=$\frac{4}{4\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠BAO=30°；
（2）四边形ABCD是直角梯形，
①CD⊥AD，AB是底边．
设过A且与AB垂直的直线的解析式是y=$\sqrt{3}$x+c，
把（-4$\sqrt{3}$，0）代入得：-12+c=0，
解得：c=12，
则直线解析式是y=$\sqrt{3}$x+12，
过C与AB平行的直线解析式是y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+2，
则根据题意得：$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{\sqrt{3}}{3}x+2}\\{y=\sqrt{3}x+12}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{5\sqrt{3}}{2}}\\{y=\frac{9}{2}}\end{array}\right.$，
则D的坐标是（-$\frac{5\sqrt{3}}{2}$，$\frac{9}{2}$）；
②AD∥BC，CD⊥AD时，由于A（-4$\sqrt{3}$，0），C（0，2），则可知D（-4$\sqrt{3}$，2）．
综上D（-$\frac{5\sqrt{3}}{2}$，$\frac{9}{2}$）或（-4$\sqrt{3}$，2）．

点评 本题考查了待定系数法求函数的解析式，正确确定D点的位置，是过A且与直线AB垂直的直线，与过C平行AB的直线，两直线的交点是关键．