Question

11．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=6，点D，E分别是BC，AB上的动点，将△BDE沿直线DE翻折，点B的对应点B′恰好落在AC上，若△AEB′是等腰三角形，那么CB′的值是3，3$\sqrt{2}$-3，0．

Answer 1

分析 分三种情况讨论：当AB'=EB'时，△AEB′是等腰三角形；当AE=AB'时，△AEB′是等腰三角形；当AE=B'E时，△AEB′是等腰三角形，分别根据等腰三角形的性质以及勾股定理进行计算，即可得到CB′的值．

解答 解：∵∠C=90°，∠A=30°，AB=6，
∴∠B=60°，BC=3，
分三种情况讨论：
①如图所示，当点D与点C重合时，∠B=∠CB'E=60°，

∵∠A=30°，
∴∠AEB'=30°，
∴∠A=∠AEB'，
∴AB'=EB'，即△AEB′是等腰三角形，
此时，CB'=BC=3；
②如图所示，当AE=AB'时，△AEB′是等腰三角形，

∴∠AB'E=75°，
由折叠可得，∠DB'E=∠ABC=60°，
∴∠DB'C=45°，
又∵∠C=90°，
∴△DCB'是等腰直角三角形，
设CB'=x=DC，则BD=3-x=DB'，
∵Rt△DCB'中，x²+x²=（3-x）²，
解得x₁=3$\sqrt{2}$-3，x₂=-3$\sqrt{2}$-3（舍去），
∴CB'=3$\sqrt{2}$-3；
③如图所示，当点B'与点C重合时，∠B=∠DCE=60°，

∴∠EB'A=30°=∠A，
∴AE=B'E，即△AEB′是等腰三角形，
此时CB'=0，
综上所述，当△AEB′是等腰三角形时，CB′的值是3，3$\sqrt{2}$-3，0．
故答案为：3，3$\sqrt{2}$-3，0．

点评 本题主要考查了折叠问题，等腰三角形的性质，解一元二次方程以及勾股定理的综合应用，解决问题的关键是依据△AEB′是等腰三角形，画出图形进行分类讨论，解题时注意方程思想的运用．