Question

17．在Rt△ABC中，∠A=90°，点O在BC上，以点O为圆心，OB长为半径的圆与AB、BC分别交于点D、E，且∠ACD=∠B．
（1）试判断直线CD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若BD：BO=6：5，AC=3，求CD的长．

Answer 1

分析 （1）连接OD，DE，如图，由三角形内角和定理得∠ACD+∠ADC=90°，而∠B=∠ACD，则∠B+∠ADC=90°，加上∠B=∠BDO，则∠BDO+∠ADC=90°，所以∠ODC=90°，于是根据切线的判定定理得到CD是⊙O切线；
（2）由$\frac{BD}{BO}$=$\frac{6}{5}$得$\frac{BD}{BE}$=$\frac{3}{5}$，再证明Rt△BDE∽Rt△CAD，利用相似三角形的性质得到$\frac{AC}{BD}$=$\frac{CD}{BE}$，然后根据比例性质得$\frac{AC}{CD}$=$\frac{BD}{BE}$=$\frac{3}{5}$，于是可计算出CD=$\frac{5}{3}$AC=5．

解答 解：（1）CD与⊙O相切．理由如下：
连接OD，DE，如图，
∵∠A=90°，
∴∠ACD+∠ADC=90°，
∵∠B=∠ACD，
∴∠B+∠ADC=90°，
∵OD=OB，
∴∠B=∠BDO，
∴∠BDO+∠ADC=90°，
∴∠ODC=180°-90°=90°，
∴OD⊥CD，
∴CD是⊙O切线；
（2）解：∵$\frac{BD}{BO}$=$\frac{6}{5}$，
∴$\frac{BD}{BE}$=$\frac{6}{10}$=$\frac{3}{5}$，
∵BE是直径，
∴∠BDE=90°，
∵∠ACD=∠B，
∴Rt△BDE∽Rt△CAD，（8分）
∴$\frac{AC}{BD}$=$\frac{CD}{BE}$，
∴$\frac{AC}{CD}$=$\frac{BD}{BE}$=$\frac{3}{5}$，
∴CD=$\frac{5}{3}$AC=5．

点评 本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了相似三角形的判定与性质．