题目内容
如图，抛物线y=ax2+bx+2经过点A（-1，0），B（5，0），与y轴交于点C．（1）求该抛物线的解析式；
（2）点P为线段AB上一点，连接PC．将线段PC绕点P顺时针旋转90°得到线段PF，连接BF．设点P的坐标为（t，0），△PBF的面积为S，求S与t的函数关系式，并求出当△PBF的面积最大时，点P的坐标及此时△PBF的最大面积；
（3）在（2）的条件下，点P在线段OB上移动的过程中，△PBF能否成为等腰三角形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．
【答案】分析：（1）因为抛物线过A、B、C三点，所以此三点的坐标使抛物线的解析式成立．
（2）①此题要分作两种情况进行讨论：
①当P点位于原点左侧，线段OA上；此时-1≤t≤0，可过F作FD⊥x轴于D，由此可得到DF的长，以BP为底，DF为高，即可求得△BPF的面积表达式，也就得到了关于S、t的函数关系式；
②当P点位于原点右侧，线段OB上；此时0＜t≤5，可仿照一的方法进行求解；
（3）设P点坐标为（t，0），假若这样的等腰三角形存在，再进行分类，当P点在线段OA上和线段OB上，求出FB和PF的长，令|BF|=|PF|，求出t的值即可．
解答：解：（1）（法一）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+2（a≠0），把A（-1，0），B（5，0），三点代入解析式得：
，
解得
；
∴
；
（法二）设抛物线的解析式为y=a（x-5）（x+1），
把（0，2）代入解析式得：2=-5a，
∴
；
∴
，
即
；
（2）①过点F作FD⊥x轴于D，如图1，
当点P在原点左侧时（-1≤t＜0），BP=5-t，DF=-t；
∴S△PBF=
=
-
t（-1≤t≤0），
当t=-1时，S△PBF有最大值2；此时P点坐标为（-1，0）；
②当点P在原点右侧时（0＜t≤5），如图2，DF=t，BP=5-t；
∴S△PBF=
=-
t2+
t（0＜t≤5）；
当t=
时，S△PBF有最大值
；此时坐标为（
，0）；
综上S与t的函数关系式为S=
，
当t=
时，S△PBF有最大值
；此时坐标为（
，0）；
（3）能；
设P点坐标为（t，0），
当-1≤t≤0时，这样的等腰三角形不存在，
当0＜t≤5时，如图3，F点坐标为（2+t，t），
PF=
，FB=
，
若△PBF是等腰三角形，则PF=FB，
解得t=1或t=5（不符合题意舍去），
故当t=1时△PBF是等腰三角形．
点评：此题考查了二次函数解析式的确定、以及三角形面积的求法等重要知识点；在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果，此题综合性较强，难度较大．
（2）①此题要分作两种情况进行讨论：
①当P点位于原点左侧，线段OA上；此时-1≤t≤0，可过F作FD⊥x轴于D，由此可得到DF的长，以BP为底，DF为高，即可求得△BPF的面积表达式，也就得到了关于S、t的函数关系式；
②当P点位于原点右侧，线段OB上；此时0＜t≤5，可仿照一的方法进行求解；
（3）设P点坐标为（t，0），假若这样的等腰三角形存在，再进行分类，当P点在线段OA上和线段OB上，求出FB和PF的长，令|BF|=|PF|，求出t的值即可．
解答：解：（1）（法一）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+2（a≠0），把A（-1，0），B（5，0），三点代入解析式得：
，解得
；∴
；（法二）设抛物线的解析式为y=a（x-5）（x+1），
把（0，2）代入解析式得：2=-5a，
∴
；∴
，即
；（2）①过点F作FD⊥x轴于D，如图1，
当点P在原点左侧时（-1≤t＜0），BP=5-t，DF=-t；
∴S△PBF=
=
-
t（-1≤t≤0），当t=-1时，S△PBF有最大值2；此时P点坐标为（-1，0）；
②当点P在原点右侧时（0＜t≤5），如图2，DF=t，BP=5-t；
∴S△PBF=
=-
t2+
t（0＜t≤5）；当t=
时，S△PBF有最大值
；此时坐标为（
，0）；综上S与t的函数关系式为S=
，当t=
时，S△PBF有最大值
；此时坐标为（
，0）；（3）能；
设P点坐标为（t，0），
当-1≤t≤0时，这样的等腰三角形不存在，
当0＜t≤5时，如图3，F点坐标为（2+t，t），
PF=
，FB=
，若△PBF是等腰三角形，则PF=FB，
解得t=1或t=5（不符合题意舍去），
故当t=1时△PBF是等腰三角形．
点评：此题考查了二次函数解析式的确定、以及三角形面积的求法等重要知识点；在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果，此题综合性较强，难度较大．
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