Question

17．如图，已知矩形ABCD中，点I在∠CAB的平分线AK上运动，过I作IE⊥AD，IF⊥CD，垂足分别为E，F，IE、IF分别交AC于点G、H．
（1）若点H为AC的中点，且KH⊥AC，求GH：AG；
（2）当点I运动到什么位置时，满足GH=GE+HF，此时矩形EIFD的面积与矩形ABCD的比值是多少？

Answer 1

分析 （1）由线段垂直平分线的性质得到∠ACK=∠CAK，由AK平分∠CAB，于是得到∠CAK=∠ACK=∠BAK，求得FI∥DE，推出△AEG∽△HIG，得到$\frac{GH}{AG}=\frac{HI}{AE}$，通过等量代换得到结论；
（2）当I运动到△ABC的内心时，GH=GE+HF，如图，过I作IM⊥AC与M，IN⊥AB与N，则IN=IM=EA，证出△AGE≌△GIM，得到EG=MG，同理HM=FH，于是得到S_△AGE=S_△GMI，S_△IMH=S_△FHC，求得S_△GHI=S_△AEG+S_△HFC，于是得到S_{四边形EIFD}=S_△ADC=$\frac{1}{2}$S_矩形ABCD，即可得到结论．

解答 解：（1）∵H是AC的中点，KH⊥AC，
∴CK=AK，
∴∠ACK=∠CAK，
∵AK平分∠CAB，
∴∠CAK=∠ACK=∠BAK，
∵∠CAK+∠ACK+∠BAK=90°，
∴∠CAK=∠ACK=∠BAK=30°，
∵FI∥DE，
∴△AEG∽△HIG，
∴$\frac{GH}{AG}=\frac{HI}{AE}$，
∵FI∥BC，
∴∠AHI=∠ACB=∠HAI，
∴HI=AI，
∴$\frac{GH}{AG}=\frac{AI}{AE}=2：1$；

（2）当I运动到△ABC的内心时，GH=GE+HF，
如图，过I作IM⊥AC与M，IN⊥AB与N，
则IN=IM=EA，
∵∠2=∠3，∠4=∠3，
∴∠2=∠4，
∴AG=GI，
在△AGE与△GIM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEG=∠IMG}\\{∠AGE=∠MGI}\\{EG=IG}\end{array}\right.$，
∴△AGE≌△GIM，
∴EG=MG，
同理HM=FH，
∴S_△AGE=S_△GMI，S_△IMH=S_△FHC，
∴S_△GHI=S_△AEG+S_△HFC，
∴S_{四边形EIFD}=S_△ADC=$\frac{1}{2}$S_矩形ABCD，
∴$\frac{{S}_{四边形EIFD}}{{S}_{矩形ABCD}}$=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，角平分线的性质，三角形的内心，全等三角形的判定和性质，熟练掌握各定理是解题的关键．