题目内容
如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，动点P从点A开始沿AC向点C以每秒2厘米的速度运动，同时动点Q从点C开始沿CB边向点B以每秒1厘米的速度运动．设运动的时间为t秒（0＜t＜5），△PQC的面积为Scm2．（1）求S与t之间函数关系式．
（2）当t为何值时，△PQC的面积最大，最大面积是多少？
（3）在P、Q的移动过程中，△PQC能否为直角三角形？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由．
【答案】分析：（1）根据勾股定理求出AC的长，过Q点作QE⊥AC于E点，得到△QEC∽△ABC，推出比例式
=
，代入即可求出QE的值，代入三角形的面积公式即可得到答案；
（2）把（1）的解析式化成顶点式即可得到答案；
（3）分两种情况：①当∠PQC=90°时，由相似得到比利式即可求出t的值；②当∠CPQ=90°时，同法可求出t的值，即可得到答案．
解答：
解：（1）∵矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，
∴根据勾股定理得：AC=10cm，
又∵运动的时间为t秒（0＜t＜5），
∴AP=2tcm，CQ=tcm，
CP=（10-2t）cm．
过Q点作QE⊥AC于E点．
∵∠QEC=∠B=90°，∠ACB=∠ACB，
∴△QEC∽△ABC，
∴
，
∴
，∴
∴S与t之间的函数关系式为：
S=
PC•QE=
（10-2t）•
=
+3t．
答：S与t之间函数关系式是S=-
t2+3t．
（2）解：∵
，
∴
时，△PQC的面积最大，最大面积是
，
答：当t为
s时，△PQC的面积最大，最大面积是
cm2．
（3）在P、Q的移动过程中，△PQC能为直角三角形．
分两种情况：
①当∠PQC=90°时，
∵△CPQ∽△CAB，
∴
∴
，
解得
符合题意．
②当∠CPQ=90°时，
∵△CPQ∽△CBA，
∴
，
∴
，
解得
符合题意．
综合上述，在P、Q的移动过程中，
当
s或
时，△PQC能为直角三角形．答：在P、Q的移动过程中，△PQC能为直角三角形，此时t的值是
s或
s．
点评：本题主要考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，三角形的面积，二次函数的最值等知识点，解此题的关键是利用相似得到比例式进而得到方程．题型较好，有一定的难度，综合性比较强．分类讨论思想的运用．
=
，代入即可求出QE的值，代入三角形的面积公式即可得到答案；（2）把（1）的解析式化成顶点式即可得到答案；
（3）分两种情况：①当∠PQC=90°时，由相似得到比利式即可求出t的值；②当∠CPQ=90°时，同法可求出t的值，即可得到答案．
解答：
解：（1）∵矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，∴根据勾股定理得：AC=10cm，
又∵运动的时间为t秒（0＜t＜5），
∴AP=2tcm，CQ=tcm，
CP=（10-2t）cm．
过Q点作QE⊥AC于E点．
∵∠QEC=∠B=90°，∠ACB=∠ACB，
∴△QEC∽△ABC，
∴
，∴
，∴
∴S与t之间的函数关系式为：
S=
PC•QE=
（10-2t）•
=
+3t．答：S与t之间函数关系式是S=-
t2+3t．
（2）解：∵
，∴
时，△PQC的面积最大，最大面积是
，答：当t为
s时，△PQC的面积最大，最大面积是
cm2．（3）在P、Q的移动过程中，△PQC能为直角三角形．
分两种情况：
①当∠PQC=90°时，
∵△CPQ∽△CAB，
∴
∴
，解得
符合题意．②当∠CPQ=90°时，
∵△CPQ∽△CBA，
∴
，∴
，解得
符合题意．综合上述，在P、Q的移动过程中，
当
s或
时，△PQC能为直角三角形．答：在P、Q的移动过程中，△PQC能为直角三角形，此时t的值是
s或
s．点评：本题主要考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，三角形的面积，二次函数的最值等知识点，解此题的关键是利用相似得到比例式进而得到方程．题型较好，有一定的难度，综合性比较强．分类讨论思想的运用．
练习册系列答案
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．
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