题目内容
如图①，在矩形 ABCD中，AB=30cm，BC=60cm．点P从点A出发，沿A→B→C→D路线向点D匀速运动，到达点D后停止；点Q从点D出发，沿 D→C→B→A路线向点A匀速运动，到达点A后停止．若点P、Q同时出发，在运
动过程中，Q点停留了1s，图②是P、Q两点在折线AB-BC-CD上相距的路程S（cm）与时间t（s）之间的函数关系图象．
（1）请解释图中点H的实际意义？
（2）求P、Q两点的运动速度；
（3）将图②补充完整；
（4）当时间t为何值时，△PCQ为等腰三角形？请直接写出t的值．
动过程中，Q点停留了1s，图②是P、Q两点在折线AB-BC-CD上相距的路程S（cm）与时间t（s）之间的函数关系图象．（1）请解释图中点H的实际意义？
（2）求P、Q两点的运动速度；
（3）将图②补充完整；
（4）当时间t为何值时，△PCQ为等腰三角形？请直接写出t的值．
分析：（1）根据P、Q两点在折线AB-BC-CD上相距的路程S（cm）与时间t（s）之间的函数关系图象得出H点时两点相遇；
（2）利用函数图象得出当两点在F点到G点两点路程随时间变化减慢得出此时Q点停留，只有P点运动，再利用纵坐标的值得出P点和Q点运动速度；
（3）根据4秒后，P点到达D点，只有Q点运动，根据运动速度为15cm/s，还需要运动120-45=75（cm），则运动时间为：75÷15=5（s），进而画出图象即可；
（4）根据Q，P的位置不同，进行分类讨论得出答案即可．
（2）利用函数图象得出当两点在F点到G点两点路程随时间变化减慢得出此时Q点停留，只有P点运动，再利用纵坐标的值得出P点和Q点运动速度；
（3）根据4秒后，P点到达D点，只有Q点运动，根据运动速度为15cm/s，还需要运动120-45=75（cm），则运动时间为：75÷15=5（s），进而画出图象即可；
（4）根据Q，P的位置不同，进行分类讨论得出答案即可．
解答：解：（1）图中点H的实际意义：P、Q两点相遇；
（2）由函数图象得出，当两点在F点到G点两点路程随时间变化减慢得出此时Q点停留1秒，只有P点运动，此时纵坐标的值由75下降到45，
故P点运动速度为：30cm/s，再根据E点到F点S的值由120变为75，根据P点速度，得出Q点速度为120-75-30=15（cm/s），
即P点速度为30cm/s，Q点速度为 15cm/s；
（3）如图所示：根据4秒后，P点到达D点，只有Q点运动，根据运动速度为15cm/s，
还需要运动120-45=75（cm），则运动时间为：75÷15=5（s），画出图象即可；
（4）如图1所示，
当QP=PC，此时
QC=BP，即30-30t=
（30-15t），
解得：t=
，
故当时间t=
s时，△PCQ为等腰三角形，
如图2所示，
当D，P重合，QD=QC时，
Q为AB中点，则运动时间为：（15+60+30）÷15+1=8（s），
故当时间t=8s时，△PCQ为等腰三角形．
若PC=CQ
故90-30t=30-15t
解得：t=4
则4+1=5（S）
综上所述：t=
或t=5或t=8秒时，△PCQ为等腰三角形．
（2）由函数图象得出，当两点在F点到G点两点路程随时间变化减慢得出此时Q点停留1秒，只有P点运动，此时纵坐标的值由75下降到45，
故P点运动速度为：30cm/s，再根据E点到F点S的值由120变为75，根据P点速度，得出Q点速度为120-75-30=15（cm/s），
即P点速度为30cm/s，Q点速度为 15cm/s；
（3）如图所示：根据4秒后，P点到达D点，只有Q点运动，根据运动速度为15cm/s，
还需要运动120-45=75（cm），则运动时间为：75÷15=5（s），画出图象即可；
（4）如图1所示，
当QP=PC，此时
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解得：t=
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故当时间t=
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如图2所示，
当D，P重合，QD=QC时，
Q为AB中点，则运动时间为：（15+60+30）÷15+1=8（s），
故当时间t=8s时，△PCQ为等腰三角形．
若PC=CQ
故90-30t=30-15t
解得：t=4
则4+1=5（S）
综上所述：t=
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点评：此题主要考查了动点问题的函数图象，主要运用分类讨论的思想，函数的知识和等腰三角形的知识，具有很强的综合性．
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