题目内容
如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA的长为半径的⊙O与AD、AC分别交于点E、F，且∠ACB=∠DCE
．（1）判断直线CE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AB=
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分析：（1）首先连接OE，由OE=OA与四边形ABCD是矩形，易求得∠DEC+∠OEA=90°，即OE⊥EC，即可证得直线CE与⊙O的位置关系是相切；
（2）首先易证得△CDE∽△CBA，然后根据相似三角形的对应边成比例，即可求得DE的长，又由勾股定理即可求得AC的长，然后设OA为x，即可得方程（
）2-x2=（
-x）2，解此方程即可求得⊙O的半径．
（2）首先易证得△CDE∽△CBA，然后根据相似三角形的对应边成比例，即可求得DE的长，又由勾股定理即可求得AC的长，然后设OA为x，即可得方程（
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解答：解：（1）直线CE与⊙O相切．…（1分）
理由：连接OE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠D=∠BAD=90°，BC∥AD，CD=AB，…（2分）
∴∠DCE+∠DEC=90°，∠ACB=∠DAC，
又∠DCE=∠ACB，
∴∠DEC+∠DAC=90°，
∵OE=OA，
∴∠OEA=∠DAC，
∴∠DEC+∠OEA=90°，
∴∠OEC=90°，
∴OE⊥EC，…（3分）
∵OE为圆O半径，
∴直线CE与⊙O相切；…（4分）
（2）∵∠B=∠D，∠DCE=∠ACB，
∴△CDE∽△CBA，…（5分）
∴
=
，…（6分）
又CD=AB=
，BC=2，
∴DE=1
根据勾股定理得EC=
，
又AC=
=
，…（7分）
设OA为x，则（
）2+x2=（
-x）2，
解得x=
，
∴⊙O的半径为
．…（8分）
理由：连接OE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠D=∠BAD=90°，BC∥AD，CD=AB，…（2分）
∴∠DCE+∠DEC=90°，∠ACB=∠DAC，
又∠DCE=∠ACB，
∴∠DEC+∠DAC=90°，
∵OE=OA，
∴∠OEA=∠DAC，
∴∠DEC+∠OEA=90°，
∴∠OEC=90°，
∴OE⊥EC，…（3分）
∵OE为圆O半径，
∴直线CE与⊙O相切；…（4分）
（2）∵∠B=∠D，∠DCE=∠ACB，
∴△CDE∽△CBA，…（5分）
∴
| BC |
| DC |
| AB |
| DE |
又CD=AB=
| 2 |
∴DE=1
根据勾股定理得EC=
| 3 |
又AC=
| AB2+BC2 |
| 6 |
设OA为x，则（
| 3 |
| 6 |
解得x=
| ||
| 4 |
∴⊙O的半径为
| ||
| 4 |
点评：此题考查了切线的判定与性质，矩形的性质，相似三角形的判定与性质以及勾股定理等知识．此题综合性较强，难度适中，解题的关键是注意数形结合思想与方程思想的应用，注意辅助线的作法．
练习册系列答案
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