Question

3．请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按所选的第一题计分．
A．如图，△AOB中，∠AOB=90°，AO=3，BO=6，△AOB绕顶点O逆时针旋转到△A′OB′处，此时线段A′B′与BO的交点E为BO的中点，则线段B′E的长度为$\frac{9\sqrt{5}}{5}$；
B．用科学计算器计算：${13^5}×\sqrt{13}sin{13°}≈$301145.6．（精确到0.1）

Answer 1

分析 A、作辅助线．构建直角△EMO，设EM=a，利用三角函数表示OM的长，再利用勾股定理列方程，求出a的值，则B′E=3$\sqrt{5}$-2a代入计算；
B、利用计算器计算．

解答 解：A．过O作OM⊥A′B′，垂足为M，
∵A′O=OE=3，
∴A′M=EM，
由勾股定理得：A′B′=AB=$\sqrt{{6}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{5}$，
设EM=a，则B′M=3$\sqrt{5}$-a，
在Rt△B′MO中，tan∠MB′O=$\frac{OM}{B′M}$=$\frac{3}{6}$=$\frac{1}{2}$，
∴OM=$\frac{3\sqrt{5}-a}{2}$，
由勾股定理得：a²+$（\frac{3\sqrt{5}-a}{2}）^{2}$=3²，
5a²-6$\sqrt{5}$a+9=0，
a₁=a₂=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，
∴B′E=3$\sqrt{5}$-2a=3$\sqrt{5}$-$\frac{6\sqrt{5}}{5}$=$\frac{9\sqrt{5}}{5}$；

B.135×$\sqrt{13}$sin13°≈301145.6；
故答案为：A、$\frac{9\sqrt{5}}{5}$；B、301145.6．

点评 本题考查了旋转的性质和使用计算器计算，明确旋转前后的边和角相等，利用等腰三角形三线合一的性质及三角函数表示各边的长，在不同的直角三角形中，同角的三角函数值相等这一结论要熟练掌握．