Question

12．在平面直角坐标系中，点A的坐标（0，4），点C的坐标（6，0），点P是x轴上的一个动点，从点C出发，沿x轴的负半轴方向运动，速度为2个单位/秒，运动时间为t秒，点B在x轴的负半轴上，且S_△AOC=3S_△AOB．

（1）求点B的坐标；
（2）若点D在y轴上，是否存在点P，使以P、D、O为顶点的三角形与△AOB全等？若存在，直接写出点D坐标；若不存在，请说明理由
（3）点Q是y轴上的一个动点，从点A出发，向y轴的负半轴运动，速度为2个单位/秒．若P、Q分别从C、A两点同时出发，求：t为何值时，以P、Q、O三点构成的三角形与△AOB全等．

Answer 1

分析 （1）先求出OA，OC进而得出△AOC的面积，即可得出△AOB的面积，最后得出点B坐标；
（2）由于∠POD=∠AOB=90°，所以分两种情况讨论计算即可；
（3）先按时间分成三种情况，每种情况中同（2）的方法即可得出结论．

解答 解：（1）∵点A的坐标（0，4），点C的坐标（6，0），
∴OA=4，OC=6，
∴S_△AOC=$\frac{1}{2}$OC•OA=$\frac{1}{2}$×6×4=12，
∵S_△AOC=3S_△AOB．S_△AOB=4，
设B（x，0），
∵点B在x轴的负半轴上，
∴OB=-x，
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$OB•OA=$\frac{1}{2}$×（-x）×4=4，
∴x=-2，
∴B（-2，0）；
（2）∵P在x轴上，D在y轴，
∴∠POD=∠AOB=90°，
∵以P、D、O为顶点的三角形与△AOB全等，
∴①△POD≌△AOB，
∴OD=OB=2，
∴D（-2，0）或（2，0）
②△DOP≌△AOB，
∴OD=OA=4，
∴D（4，0）或（-4，0），
即：满足条件的D的坐标为（0，4），（0，-4），（0，2），（0，-2）．
（3）∵P在x轴上，Q在y轴，
∴∠POQ=∠AOB=90°，
由运动知，CP=2t，AQ=2t，
∴OP=|2t-6|，OQ=|2t-4|，
当0＜t＜2时，OP=6-2t，OQ=4-2t，
以P、Q、O为顶点的三角形与△AOB全等，
∴①△POQ≌△AOB，
∴OQ=OB=2=4-2t，
∴t=1
OP=OA=4=6-2t，
∴t=1，
∴满足条件，即：t=1s
②△QOP≌△AOB，
∴OQ=OA=4=4-2t，
∴t=0，OP=OB=2=6-2t，
∴t=2，
∴不满足条件，舍去；
当2＜t＜3时，OP=6-2t，OQ=2t-4，
以P、Q、O为顶点的三角形与△AOB全等，
∴①△POQ≌△AOB，
∴OQ=OB=2=2t-4，
∴t=3，
OP=OA=4=6-2t，
∴t=1，
∴不满足条件，舍去；
②△QOP≌△AOB，
∴OQ=OA=4=2t-4，
∴t=4，OP=OB=2=6-2t，
∴t=2，
∴不满足条件，舍去；
当t＞3时，OP=2t-6，OQ=2t-4，
以P、Q、O为顶点的三角形与△AOB全等，
∴①△POQ≌△AOB，
∴OQ=OB=2=2t-4，
∴t=3
OP=OA=4=2t-6，
∴t=5，
∴不满足条件，舍去；，
②△QOP≌△AOB，
∴OQ=OA=4=2t-4，
∴t=4，OP=OB=2=2t-6，
∴t=4，
∴满足条件，即：t=4s
即：满足条件的时间t=1s或4s．

点评 此题是三角形综合题，主要考查了三角形的面积公式，全等三角形的判定，解本题的关键是分类讨论，要考虑全面是解本题的难点．