Question

20．如图，△ABC的三个顶点坐标分别为（0，2），（-1，0）和（3，0），动点P从原点O出发（点P不与原点O重合），沿x轴的正方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，过点P作直线l⊥x轴，设点P的运动时间为t（秒）．
（1）操作：
①在图中画出△ABO关于y轴对称的图形（记为△A′B′O′）；
②在图中画出△A′B′O′关于直线l对称的图形（记为△A″B″O″）；
（2）猜想线段A″B″、AB的关系，并证明你的猜想；
（3）设△A″B″O″与△ABC重叠部分的面积为S（单位长度），求S与t的函数关系式，并写出t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据轴对称画出图形即可；
（2）利用轴对称的性质，对应角相等，对应边相等，再用同位角相等，两直线平行即可得出结论；
（3）分两种情况，利用相似三角形的性质和三角形的面积的差即可得出结论

解答 解：（1）①如图1，△ABO关于y轴对称的图形为△A′B′O′；
②如图1，△A′B′O′关于直线l对称的图形为△A″B″O″；
（2）A''B''∥AB且A''B''=AB，
理由：∵△ABO关于y轴对称的图形为△A′B′O′；
∴AB=A'B'，∠ABO=∠A'B'O'，
∵△A′B′O′关于直线l对称的图形为△A″B″O″；
∴A'B'=A''B''，∠A'B'O'=∠A''B''O''，
∴AB=A''B''，∠ABO=∠A''B''O''，
∴AB∥A''B''，
∴A''B''∥AB且A''B''=AB；
（3）当0＜t≤$\frac{3}{2}$时，如图2，由点B'是点B关于直线l的对称点，
∴B'（1，0），∴OB'=1，
∵△A'O'B'与△A''O''B''关于直线l对称，
∴OB''=OO''-O''B''=2t-1，
∴B''C=OC-OB''=3-（2t-1）=4-2t=2（2-t），
O''C=OC-OB''-O''B''=3-（2t-1）-1=3-2t，
∵tan∠OCA=$\frac{2}{3}$=$\frac{DO''}{CO''}$，
∴DO''=$\frac{2}{3}$CO''=$\frac{2}{3}$（3-2t），
∴S_△CDO''=$\frac{1}{2}$CO''×DO''=$\frac{1}{2}$×（3-2t）×$\frac{2}{3}$（3-2t）=$\frac{1}{3}$（3-2t）²，
∴OA=2，BC=4，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC×OA=4，
由（2）知，A''B''∥AB，
∴△CB''E∽△CBA，
∴$\frac{{S}_{△B''CE}}{{S}_{△CBA}}=（\frac{B''C}{BC}）^{2}$，
∴$\frac{{S}_{△B''CE}}{4}=\frac{4（2-t）^{2}}{16}$，
∴S_△B''CE=（2-t）²，
∴S=S_△B''CE-S_△CDO''=（2-t）²-$\frac{1}{3}$（3-2t）²=$\frac{1}{3}$t²+1

当$\frac{3}{2}$＜t≤2时，如图3，由点B'是点B关于直线l的对称点，
∴B'（1，0），
∴OB'=1，
∵△A'O'B'与△A''O''B''关于直线l对称，
∴OB''=OO''-O''B''=2t-1，
∴B''C=OC-OB''=3-（2t-1）=4-2t=2（2-t），
∵OA=2，BC=4，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC×OA=4，
由（2）知，A''B''∥AB，
∴△CB''E∽△CBA，
∴$\frac{{S}_{△B''CE}}{{S}_{△CBA}}=（\frac{B''C}{BC}）^{2}$，
∴$\frac{{S}_{△B''CE}}{4}=\frac{4（2-t）^{2}}{16}$，
∴S_△B''CE=（2-t）²，
∴S=S_△B''CE=（2-t）²，
∴S=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{3}{t}^{2}+1（0＜t≤\frac{3}{2}）}\\{（2-t）^{2}（\frac{3}{2}＜t≤2）}\end{array}\right.$．

点评 此题是三角形综合题，主要考查了轴对称的性质，平行线的性质和判定，相似三角形的性质和判定，三角形的面积公式，解本题的关键是利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，是一道中等难度的中考常考题．