Question

8．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离AB=|a-b|，线段AB的中点表示的数为$\frac{a+b}{2}$．
【问题情境】如图，数轴上点A表示的数为-2，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．
设运动时间为t秒（t＞0）．
【综合运用】
（1）填空：
①A、B两点间的距离AB=10，线段AB的中点表示的数为3；
②用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为-2+3t；点Q表示的数为8-2t．
（2）求当t为何值时，P、Q两点相遇，并写出相遇点所表示的数；
（3）求当t为何值时，PQ=$\frac{1}{2}$AB；
（4）若点M为PA的中点，点N为PB的中点，点P在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段MN的长．

Answer 1

分析 （1）根据题意即可得到结论；
（2）当P、Q两点相遇时，P、Q表示的数相等列方程得到t=2，于是得到当t=2时，P、Q相遇，即可得到结论；
（3）由t秒后，点P表示的数-2+3t，点Q表示的数为8-2t，于是得到PQ=|（-2+3t）-（8-2t）|=|5t-10|，列方程即可得到结论；
（4）由点M表示的数为 $\frac{-2+（-2+3t）}{2}$=$\frac{3t}{2}$-2，点N表示的数为 $\frac{8+（-2+3t）}{2}$=$\frac{3t}{2}$+3，即可得到结论．

解答 解：（1）①10，3；
②-2+3t，8-2t；
（2）∵当P、Q两点相遇时，P、Q表示的数相等
∴-2+3t=8-2t，
解得：t=2，
∴当t=2时，P、Q相遇，
此时，-2+3t=-2+3×2=4，
∴相遇点表示的数为4；
（3）∵t秒后，点P表示的数-2+3t，点Q表示的数为8-2t，
∴PQ=|（-2+3t）-（8-2t）|=|5t-10|，
又PQ=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×10=5，
∴|5t-10|=5，
解得：t=1或3，
∴当：t=1或3时，PQ=$\frac{1}{2}$AB；
（4）∵点M表示的数为 $\frac{-2+（-2+3t）}{2}$=$\frac{3t}{2}$-2，
点N表示的数为 $\frac{8+（-2+3t）}{2}$=$\frac{3t}{2}$+3，
∴MN=|（$\frac{3t}{2}$-2）-（$\frac{3t}{2}$+3）|=|$\frac{3t}{2}$-2-$\frac{3t}{2}$-3|=5．

点评 本题考查了一元一次方程的应用应用和数轴，解题的关键是掌握点的移动与点所表示的数之间的关系，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．