Question

6．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，∠ABD=45°，在AD上取一点E，连接BE，使得BE=AC，连接CE，将线段CA绕点C逆时针旋转90°，到达CF的位置，连接BF．已知∠CAD=∠BCF．
（1）试判断DE与CD之间的数量关系，并说明理由；
（2）求证：四边形BFCE是平行四边形；
（3）若BC=7，DE=2，求线段CA旋转过程中扫过的面积．

Answer 1

分析 （1）根据HL证明Rt△BDE≌Rt△ADC可得结论；
（2）证明BE=CF和BE∥CF，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得结论；
（3）由图形可知：线段CA旋转过程中扫过的面积是以AC为半径，圆心角为90度的扇形的面积，求出AC的长，代入公式即可．

解答 解：（1）DE=CD；
理由是：∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∵∠ABD=45°，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴AD=BD，
∵BE=AC，
∴Rt△BDE≌Rt△ADC（HL），
∴DE=CD；
（2）由旋转得：AC=CF，
∵BE=AC，
∴BE=CF，
由（1）得Rt△BDE≌Rt△ADC，
∴∠DBE=∠DAC，
∵∠DAC=∠BCF，
∴∠DBE=∠BCF，
∴BE∥FC，
∴四边形BFCE是平行四边形；
（3）由（1）得DE=DC=2，
∵BC=7，
∴AD=BD=7-2=5，
在Rt△ADC中，由勾股定理得：AC=$\sqrt{A{D}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{29}$，
∴S=$\frac{90π×（\sqrt{29}）^{2}}{360}$=$\frac{29}{4}$π，
则线段CA旋转过程中扫过的面积为$\frac{29}{4}$π．

点评 本题是四边形的综合题，难度适中，考查了直角三角形全等的性质和判定、等腰直角三角形的性质和判定、勾股定理、扇形面积公式、平行四边形的性质和判定，熟练掌握直角三角形全等和平行四边形的判定是关键．