Question

15．探究与发现：

（1）探究一：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的角之间的关系
已知：如图1，在△ADC中，DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，试探究∠P与∠A的数量关系，并说明理由．
（2）探究二：四边形的两个个内角与另两个内角的平分线所夹的角之间的关系
已知：如图2，在四边形ABCD中，DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，试探究∠P与∠A+∠B的数量关系，并说明理由．
（3）探究三：六边形的四个内角与另两个内角的平分线所夹的角之间的关系
已知：如图3，在六边形ABCDEF中，DP、CP分别平分∠EDC和∠BCD，请直接写出∠P与∠A+∠B+∠E+∠F的数量关系：∠P=$\frac{1}{2}$（∠A+∠B+∠E+∠F）-180°．

Answer 1

分析 探究一：根据角平分线的定义可得∠PDC=$\frac{1}{2}$∠ADC，∠PCD=$\frac{1}{2}$∠ACD，然后根据三角形内角和定理列式整理即可得解；
探究二：根据四边形的内角和定理表示出∠ADC+∠BCD，然后同理探究二解答即可；
探究三：根据六边形的内角和公式表示出∠EDC+∠BCD，然后同理探究二解答即可．

解答 解：探究一：∵DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，
∴∠PDC=$\frac{1}{2}$∠ADC，∠PCD=$\frac{1}{2}$∠ACD，
∴∠DPC=180°-∠PDC-∠PCD，
=180°-$\frac{1}{2}$∠ADC-$\frac{1}{2}$∠ACD，
=180°-$\frac{1}{2}$（∠ADC+∠ACD），
=180°-$\frac{1}{2}$（180°-∠A），
=90°+$\frac{1}{2}$∠A；

探究二：∵DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，
∴∠PDC=$\frac{1}{2}$∠ADC，∠PCD=$\frac{1}{2}$∠BCD，
∴∠DPC=180°-∠PDC-∠PCD，
=180°-$\frac{1}{2}$∠ADC-$\frac{1}{2}$∠BCD，
=180°-$\frac{1}{2}$（∠ADC+∠BCD），
=180°-$\frac{1}{2}$（360°-∠A-∠B），
=$\frac{1}{2}$（∠A+∠B）；

探究三：六边形ABCDEF的内角和为：（6-2）•180°=720°，
∵DP、CP分别平分∠EDC和∠BCD，
∴∠PDC=$\frac{1}{2}$∠EDC，∠PCD=$\frac{1}{2}$∠BCD，
∴∠P=180°-∠PDC-∠PCD，
=180°-$\frac{1}{2}$∠EDC-$\frac{1}{2}$∠BCD，
=180°-$\frac{1}{2}$（∠EDC+∠ACD），
=180°-$\frac{1}{2}$（720°-∠A-∠B-∠E-∠F），
=$\frac{1}{2}$（∠A+∠B+∠E+∠F）-180°，
即∠P=$\frac{1}{2}$（∠A+∠B+∠E+∠F）-180°．
故答案为：∠P=$\frac{1}{2}$（∠A+∠B+∠E+∠F）-180°．

点评 本题考查了三角形的外角性质，三角形的内角和定理，多边形的内角和公式，此类题目根据同一个解答思路求解是解题的关键．