Question

我们把1°的圆心角所对的弧叫做1°的弧，则圆心角AOB的度数等于它所对的弧AB的度数记为：∠AOB

m  .

AB

．由此可知：命题“圆周角的度数等于其所对的弧的度数的一半．”是真命题，请结合图形1给予证明（不要求写已知、求证，只需直接证明），并解决以下的问题（1）和问题（2）．
问题（1）：如图2，⊙O的两条弦AB、CD相交于圆内一点P，求证：∠APC

m  .

1

2

(

AC

+

BD

)；
问题（2）：如图3，⊙O的两条弦AB、CD相交于圆外一点P，问题（1）中的结论是否成立，如果成立，给予证明；如果不成立，写出一个类似的结论（不要求证明）

Answer 1

考点：圆周角定理

专题：

分析：（1）根据圆周角的度数等于其所对的弧的度数的一半，得∠AOB，连BC，可证得∠APC

m  .

1

2

(

AC

+

BD

)；
（2）问题（1）中的结论不成立．连BC，可以得到类似的结论为：∠BPC

m  .

1

2

(

BD

-

AC

)．

解答：证明：∵∠APB=

1

2

∠AOB
又∵∠AOB

m  .

∠

AB

，
∴∠APB

m  .

1

2

AB

即圆周角的度数等于其所对的弧的度数的一半．
问题（1）：证明：连BC，则∠APC=∠PCB+∠PBC，

∵∠PCB的度数等于弧BD的度数的一半，∠PBC的度数等于弧AC的度数的一半，
∴∠APC

m  .

1

2

(

AC

+

BD

)；
问题（2）：问题（1）中的结论不成立．
类似的结论为：∠APC

m  .

1

2

(

BD

-

AC

)，
证明：连接BC，则∠APC=∠BCD-∠PBC，
∵∠BCD的度数等于弧BD的度数的一半，∠PBC的度数等于弧AC的度数的一半，
∴∠APC

m  .

1

2

(

BD

-

AC

)．

点评：本题考查了圆周角定理以及圆心角、弧、弦之间的关系，是基础知识要熟练掌握．