Question

4．如图，已知抛物线y=ax²-2x+c经过△ABC的三个顶点，其中点A（0，1），点B（9，10），AC∥x轴．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）求tan∠ABC的值；
（3）若点D为抛物线的顶点，点E是直线AC上一点，当△CDE与△ABC相似时，求点E的坐标．

Answer 1

分析 （1）将点A和点B的坐标代入抛物线的解析式求得a、c的值即可；
（2）过点B作BH⊥AC，垂足为H．过点C作CG⊥AB，垂足为点G．先证明△ABH和△ACG均为等腰直角三角形，然后再求得AC的长，然后利用特殊锐角三角函数可求得BG、GC的长，最后依据锐角三角函数的定义求解即可；
（3）过点D作DK⊥AC，垂足为K，先证明△DCK为等腰直角三角形，则∠DCK=∠BAC，当$\frac{AC}{AB}=\frac{EC}{CD}$或$\frac{AC}{AB}=\frac{DC}{EC}$时，△CDE与△ABC相似，然后可求得CE的长．

解答 解：（1）∵抛物线y=ax²-2x+c经过点A（0，1）和点B（9，10），
∴$\left\{\begin{array}{l}c=1\\ 81a-18+c=10\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}a=\frac{1}{3}\\ c=1\end{array}\right.$．
∴这条抛物线的解析式为y=$\frac{1}{3}$x²-2x+1．

（2）过点B作BH⊥AC，垂足为H．

∵AC∥x轴，A（0，1），B（9，10），
∴H（9，1）．
∴BH=AH=9．
又∵∠BHA=90°，
∴△HAB是等腰直角三角形．
∴∠HAB=45°．
∵AC∥x轴，A（0，1），点C也在该抛物线上．
∴C（6，1）
过点C作CG⊥AB，垂足为点G．
∵∠GAC=45°，∠AGC=90°，
∴CG=AC•sin45°=3$\sqrt{2}$．
∴AG=3$\sqrt{2}$．
又∵在Rt△ABH中，AB=$\frac{BH}{sin45°}$=9$\sqrt{2}$．
∴BG=9$\sqrt{2}$-3$\sqrt{2}$=6$\sqrt{2}$．
∴在Rt△BCG中，tan∠ABC=$\frac{CG}{BG}$=$\frac{1}{2}$．

（3）如图2所示：过点D作DK⊥AC，垂足为K．

∵点D是抛物线y=$\frac{1}{3}$x²-2x+1的顶点，
∴D（3，-2）．
∴K（3，1）
∴CK=DK=3．
又∵∠CKD=90°，
∴△CDK是等腰直角三角形
∴∠DCK=45°
又∵∠BAC=45°，
∴∠DCK=∠BAC．
∴要使△CDE与△ABC相似时，则点E在点C的左侧．
当$\frac{AC}{AB}=\frac{EC}{CD}$时，则$\frac{6}{{9\sqrt{2}}}=\frac{EC}{{3\sqrt{2}}}$，
∴EC=2，
∴E（4，1）．
当$\frac{AC}{AB}=\frac{DC}{EC}$时，则$\frac{6}{{9\sqrt{2}}}=\frac{{3\sqrt{2}}}{EC}$，
∴EC=9．
∴E（-3，1）．
综上所述，当△CDE与△ABC相似时，点E的坐标为E（4，1）或E（-3，1）．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、等腰直角三角形的性质和判定，锐角三角函数的定义，相似三角形的判定，找出△CDE与△ABC相似的条件是解题的关键．