Question

9．已知△ABC，以AB为直径的⊙O分别交AC于D，BC于E，连接ED，若ED=EC．
（1）求证：AB=AC；
（2）若AB=4，BC=2$\sqrt{3}$，求CD的长．

Answer 1

分析 （1）由等腰三角形的性质得到∠EDC=∠C，由圆内接四边形的性质得到∠EDC=∠B，由此推得∠B=∠C，由等腰三角形的判定即可证得结论；
（2）连接AE，由AB为直径，可证得AE⊥BC，由（1）知AB=AC，证明△CDE∽△CBA后即可求得CD的长．

解答 （1）证明：∵ED=EC，
∴∠EDC=∠C，
∵∠EDC=∠B，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC；
（2）方法一：
解：连接AE，
∵AB为直径，
∴AE⊥BC，
由（1）知AB=AC，
∴BE=CE=$\frac{1}{2}$BC=$\sqrt{3}$，
∵△CDE∽△CBA，
∴$\frac{CD}{CB}=\frac{CE}{AC}$，
∴CE•CB=CD•CA，AC=AB=4，
∴$\sqrt{3}$•2$\sqrt{3}$=4CD，
∴CD=$\frac{3}{2}$．
方法二：
解：连接BD，
∵AB为直径，
∴BD⊥AC，
设CD=a，
由（1）知AC=AB=4，
则AD=4-a，
在Rt△ABD中，由勾股定理可得：
BD²=AB²-AD²=4²-（4-a）²
在Rt△CBD中，由勾股定理可得：
BD²=BC²-CD²=（2$\sqrt{3}$）²-a²
∴4²-（4-a）²=（2$\sqrt{3}$）²-a²
整理得：a=$\frac{3}{2}$，
即：CD=$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查了圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．